Задача 7.15. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т.е.
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
∫
∞
∫
-∞
χ*(𝑦,𝑡)
𝑝𝑝
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
=
-ℏ²
∞
∫
-∞
χ*(𝑦,𝑡)
∂²
∂𝑥²
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
(7.97)
Задача 7.16. Покажите, что
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑥
𝑙
𝑚𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
∫
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
𝐾(𝑥,𝑡;𝑦,𝑠)
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑖
∂
∂𝑦
⎫
⎪
⎭
ψ(𝑦,𝑠)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
,
(7.98)
если 𝑦𝑙=𝑦 и 𝑦𝑘=𝑠 при 𝑦𝑙>𝑦𝑘. Что будет, если 𝑦𝑙<𝑦𝑘?
Заметим, что 𝑝² соответствует произведению 𝑝𝑝 (произведению двух последовательных значений импульса, подобно тому как это было в задаче 7.15), что не равно простому квадрату импульса ⟨χ|𝑚²(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²/ε²|ψ⟩, взятого в один определённый момент времени. Последнее выражение при ε→0 неограниченно возрастает как 𝑚ℏ/𝑖ε что очевидно из соотношения (7.49). Разность между выражением 𝑚ℏ/𝑖ε и левой частью уравнения (7.97) в пределе составляет как раз 𝑝², т.е.
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚²(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²
ε²
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
𝑚ℏ
𝑖ε
⟨χ|1|ψ⟩
+
+
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
.
(7.99)
Задача 7.17. Докажите это соотношение, применяя формулу (7.40) и полагая
𝐹
=
𝑚
ε
(𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
).
§ 6. Разложение по возмущениям для векторного потенциала
Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содержащие скорости. Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так:
𝐿
=
𝑚
2
|𝐫̇|²
+
𝑒𝑉(𝐱,𝑦)
-
𝑒
𝑐
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
.
(7.100)
Пусть потенциал 𝑉 равен нулю; мы учтём лишь векторный потенциал 𝐀, рассматривая его как малое возмущение. Обозначив
𝑆
0
=
𝑚
2
∫
|𝐫̇|²
𝑑𝑦
,
σ=
-
𝑒
𝑐
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
𝑑𝑦
,
запишем разложение в ряд теории возмущений и введём соответствующие матричные элементы перехода:
⟨𝑒
𝑖σ/ℏ
⟩
𝑆0
=
⟨1⟩
𝑆0
+
𝑖
ℏ
⟨σ⟩
𝑆0
-
1
2ℏ²
⟨σ²⟩
𝑆0
+… .
(7.101)
Член первого порядка равен величине -𝑖𝑒/ℏ𝑐 умноженной на выражение
╱
╲
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
𝑑𝑦
╲
╱
.
(7.102)
Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения σ для дискретно заданной траектории (шаг определяется временны'м интервалом ε) можно было бы записать
σ=-
𝑒
𝑐
∑
𝑘
(𝐫
𝑘+1
-𝐫