2
α
-
ω
2
α
𝑄
2
α
)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑄
α
,
(8.60)
где каждый из интегралов описывает теперь только одну моду и каждая мода соответствует простому одномерному осциллятору, решение для которого мы уже получили. Таким образом, может быть проанализирована любая задача для взаимодействующих гармонических осцилляторов.
Поскольку интеграл по траектории, записанный для ядра, можно преобразовать в произведение нескольких таких интегралов, то ясно, что (подобно тому, как было сделано в § 8 гл. 3) волновую функцию системы в данном энергетическом состоянии можно представить в виде произведения волновых функций от каждой моды.
В § 1 показано, что волновые функции каждой отдельной моды пропорциональны exp (𝑖𝐸𝑛𝑡/ℏ), где 𝐸𝑛 есть энергия моды. Произведение таких волновых функций будет тогда пропорционально
exp [(𝑖𝑡/ℏ)
∑
𝑛
𝐸
𝑛
].
Отсюда следует, что полная энергия системы осцилляторов равна сумме всех отдельных энергий. Энергия моды α равна ℏωα(𝑚α±½), где 𝑚α — целое число. Энергия всей системы запишется тогда
𝐸
=
ℏω
1
⎧
⎪
⎩
𝑚
1
+
1
2
⎫
⎪
⎭
+
ℏω
2
⎧
⎪
⎩
𝑚
2
+
1
2
⎫
⎪
⎭
+…+
ℏω
𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑚
𝑛
+
1
2
⎫
⎪
⎭
,
(8.61)
где 𝑚1,𝑚2,… — все целые числа (включая и нуль). Здесь разрешён любой независимый выбор этих величин, так как возбуждения отдельных осцилляторов совершенно не связаны друг с другом.
Если φ𝑛(𝑄) — волновая функция гармонического осциллятора, занимающего 𝑛-й уровень [см. формулу (8.7)], то волновая функция всей системы будет иметь вид
φ
𝑚1
(𝑄
1
)
φ
𝑚2
(𝑄
2
)
…
φ
𝑚𝑛
(𝑄
𝑛
)
=
𝑛
∏
α=1
φ
𝑚α
(𝑄
α
)
.
(8.62)
Каждая функция φ𝑚α(𝑄α) совпадает с выражением (8.7), если в нем частоту ω заменить на ωα. Таким образом, представления классической физики, с помощью которых мы определили нормальные моды, и представления квантовой механики, с помощью которых нам удалось определить волновую функцию и энергетические уровни гармонического осциллятора, в совокупности дают полное решение задачи об определении энергетических уровней и собственных функций многоатомной молекулы.
С помощью преобразования (8.51) волновые функции состояний можно выразить в зависимости от первоначальных координат 𝑞𝑖(𝑡). Например, волновую функцию наинизшего энергетического состояния системы с энергией
(ℏ/2)
𝑛
∑
α=1
ω
α
можно записать в виде
Φ
0
=
𝑛
∏
α=1
exp
⎧
⎪
⎪
⎩
-
𝑄
2
α
2ω
α
⎫
⎪
⎪
⎭
=
exp
⎧
⎪
⎪
⎩
-
1
2
𝑛
∑
α=1
𝑄
2
α
ω
α
⎫
⎪
⎪
⎭
=
=
exp
⎧
⎪
⎩
-
1
2
𝑛
∑
α=1
𝑛