(8.66)
и лагранжиан может быть записан как
𝐿
=
𝑁
∑
𝑗=1
1
2
𝑞̇
2
𝑗
-
𝑁-1
∑
𝑗=1
ν²
2
(𝑞
𝑗+1
- 𝑞
𝑗
)²
.
(8.67)
Если положения первого и последенего атомов не фиксированы, то член с 𝑗=𝑁 в выражении для потенциальной энергии должен быть опущен.
Вытекающие из этого лагранжиана уравнения движения атомов в одномерной модели имеют вид
𝑞̈
𝑗
=
ν²
[
(𝑞
𝑗+1
- 𝑞
𝑗
)
-
(𝑞
𝑗
- 𝑞
𝑗-1
)
]
(8.68)
для всех 𝑗 за исключением крайних значений 𝑗=1 и 𝑛=𝑁. Тот факт, что частицы, расположенные в концах системы, должны рассматриваться отдельно, в большинстве задач приводит лишь к незначительным трудностям. Обычно интересуются такими свойствами движений (а тела можно считать настолько большими), что влиянием поверхностных (или граничных) эффектов можно пренебречь. В таких случаях основные результаты действительно не будут зависеть от реальных граничных условий, т.е. от того, будут ли граничные атомы свободными или связанными, и т.д. Чтобы вообще исключить эту проблему, в теоретической физике, используется предположение о существовании особой системы простых граничных условий, так называемых периодических граничных условий, так что необходимость в рассмотрении граничных точек отпадает. Досадно, конечно, что такие специальные граничные условия в действительности выполняются редко (если они вообще выполняются), однако для явлений, которые не зависят от граничных эффектов, этот приём вполне оправдан.
Смысл его состоит в том, что цепочка атомов продолжается и дальше, за 𝑁-й атом, причём предполагается, что смещение (𝑁+𝑗)-го атома всегда точно совпадает со смещением 𝑗-го атома. Таким образом, граничное условие можно записать как
𝑞
𝑁+1
=
𝑞
1
,
𝑞̇
𝑁+1
=
𝑞̇
1
.
(8.69)
Такое граничное условие заведомо будет выполняться, если исходную цепь атомов замкнуть в кольцо, подобно ожерелью из жемчужин. Однако в трёхмерном случае это уже невозможно, и граничные условия необходимо рассматривать только лишь как некоторый искусственный приём.
Таков смысл наших специальных граничных условий. Более общие случаи, например когда крайний атом связан с твёрдой стенкой или же остаётся свободным и т.д., сопровождаются отражением волн, пробегающих по системе. Такого отражения не будет лишь в случае, когда крайний атом взаимодействует с атомом другой системы, имеющей аналогичные характеристики.
Таким образом, наши граничные условия можно сравнить с введением некоторой линии, сопротивление которой подавляет отражение. Подобное сопротивление, по сути дела, эквивалентно наличию некоторой бесконечной дополнительной линии. В нашем случае мы согласуем один конец системы с другим, связывая её в кольцо. Эти граничные условия мы называли периодическими, поскольку все происходящее в 𝑘-й точке системы повторяется снова в 𝑁+𝑘-й точке, ещё раз в 2𝑁+𝑘-й и т.д. При таком граничном условии уравнение (8.68) удовлетворяется для всех атомов системы.
Решение классических уравнений движения. Предположим, что смещение 𝑞 периодически повторяется с частотой ω. Тогда нам нужно решить систему уравнений
ω²
𝑞
𝑗
=
ν²
(
𝑞
𝑗+1
-
2𝑞
𝑗
+
𝑞
𝑗-1
).
(8.70)
Мы можем свернуть эти уравнения в определитель и преобразовать полученное детерминантное уравнение так, чтобы применить для отыскания решения известные теоремы математики. Однако ясно, что данные уравнения могут быть решены непосредственно, и это легче всего проделать указанным ниже способом.
Договоримся, что символ 𝑖 будет означать лишь √-1, и не будем применять его для обозначения индексов. Решение имеет форму
𝑞
𝑗
=
𝐴𝑒
𝑖(𝑗β-ω𝑡)