=
𝑎
𝑗
𝑒
-𝑖ω𝑡
,
(8.71)
где β — некоторое постоянное. Это решение может быть проверена непосредственной подстановкой его в уравнения (8.70). Частота здесь определяется выражением
ω²
=
ν²
(
𝑒
𝑖β
-2+
𝑒
-𝑖β
)
=
4ν²sin²
β
2
.
(8.72)
Мы определили величину ω, выразив её через β. Однако некоторые значения β здесь выброшены. Периодическое граничное условие требует, чтобы β=2πα/𝑁 где α=0, 1, 2,…,𝑁-1 (случай α=0 соответствует простому сдвигу цепочки, и мы можем, если пожелаем, не рассматривать его; более того, случай α=𝑁+α' совпадает с тем, что происходит при α=α'). Таким образом, для любого частного значения α можно выразить частоту в виде
ω
α
=
2ν sin
πα
𝑁
(8.73)
Амплитуда 𝑗-координаты, соответствующая этой частоте, равна
𝑎
𝑗α
=
𝐴𝑒
𝑖2πα𝑗/𝑁
.
(8.74)
Постоянные 𝑎𝑗α, определённые последним соотношением,— комплексные числа. Вместо них можно было бы ввести действительные величины, комбинируя решения для α и -α (или для α и 𝑁-α). Однако нам удобнее оставить их в комплексной форме. Кроме того, нам будет удобно рассматривать как положительные, так и отрицательные значения α; при этом следует учесть, что если 𝑁 является нечётным, то для рассмотрения области изменения α лучше взять пределы от -½(𝑁-1) до +½(𝑁-1), нежели от 0 до 𝑁-1.
Относительные смещения атомов цепочки зависят от величины α. Например, для двух значений α, одно из которых мало, а другое соответствует величинам порядка 𝑁/2 мы получим различные картины движения, как это показано на фиг. 8.3.
Фиг. 8.3. Два случая колебаний.
Сдвиг атомов вдоль цепочки изображается смещениями по ординате от линии равновесного положения атомов 𝑗, равномерно распределёнными вдоль оси абсцисс. Наверху длина волны велика по сравнению с расстоянием между атомами (α мало); внизу α=𝑁/2 и смещения уже не имеют вида гладкой синусоидальной волны.
Относительная величина постоянных 𝑎𝑗α определена выражением (8.74), но у нас ещё остаётся свобода в выборе нормировки, т.е. в определении константы 𝐴. Найдём её значение из нормировочного соотношения, аналогичного соотношению (8.48), т.е. выберем 𝐴 так, чтобы
𝑁
∑
𝑗=1
𝑎
*
𝑗α
𝑎
𝑗β
=
δ
αβ
;
(8.75)
отсюда следует
𝐴
=
1
√𝑁
(8.76)
Теперь мы уже можем по аналогии с выражением (8.42) выразить различные моды через нормальные координаты:
𝑄
α
=
𝑁
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑞
𝑗
=
𝑁
∑
𝑗=1
𝑞𝑗
√𝑁
𝑒
𝑖𝑗⋅2πα/𝑁
,
(8.77)
где
𝑞
𝑗
=
𝑁
∑
α=1
𝑐
α
𝑎
𝑗α
exp(-𝑖ω
α
𝑡)
.
Эти координаты будут также комплексными, но поскольку при подстановке этих величин лагранжиан должен быть действительным, запишем его в виде
𝐿
=
1
2
𝑁
∑
α=1
(
𝑄̇
*
α
𝑄̇
α
-
ω
2
α
𝑄
*
α
𝑄
α
).
(8.78)
Видимо, подобное использование комплексных координат 𝑄 нуждается в некоторых объяснениях. Поскольку физические координаты 𝑞𝑗 — действительные величины, то соотношение (8.77) подразумевает, что 𝑄*α=𝑄-α Поэтому, хотя для определения каждой комплексной переменной 𝑄α необходимо иметь два действительных числа, т.е. всего 2𝑁 чисел, нам из них нужны только 𝑁 независимых чисел. Если бы мы предпочли пользоваться действительными координатами, то можно было ввести их следующим образом: