𝑄
α
=(
𝑄
𝑐
α
-
𝑖𝑄
𝑠
α
)
1
√2
,
𝑄
𝑐
α
=
1
√2
(
𝑄
α
+
𝑄
-α
)
,
(8.79)
𝑄
𝑠
α
=
=
𝑖
√2
(
𝑄
α
-
𝑄
-α
)
,
(8.80)
где α изменяется теперь уже только от 0 до 𝑁-1. В этом случае такие, например, выражения, как кинетическая энергия, будут иметь вид
1
2
[(
𝑄̇
𝑐
α
)²
+(
𝑄̇
𝑠
α
)²
]=
𝑄̇
α
𝑄̇
-α
=
𝑄̇
α
𝑄̇
*
α
.
(8.81)
Множитель ½ возникает в выражении (8.78), поскольку мы суммируем по всем значениям α, положительным и отрицательным, учитывая при этом каждый член дважды, так как 𝑄*-α𝑄-α = 𝑄α𝑄*α. Таким образом, квадратичное выражение, полученное ранее для действительных величин, теперь выглядит уже как произведение сопряжённых комплексных чисел [см., например, (8.75)].
Задача 8.3. Покажите, что 𝑄𝑐α и 𝑄𝑠α — нормальные координаты, представляющие соответственно стоячие волны √2cos(2πα𝑗/𝑁) и √2sin(2πα𝑗/𝑁), т.e. что для нечётных 𝑁
𝑞
𝑗
=
½(𝑁-1)
∑
α=1
𝑄
𝑐
α
√
2
cos
2πα𝑗
𝑁
+
½(𝑁-1)
∑
α=1
𝑄
𝑠
α
√
2
sin
2πα𝑗
𝑁
.
(8.82)
Задача 8.4. Выразив начальную волновую функцию через координаты 𝑄𝑐α и 𝑄𝑠α, покажите, что волновая функция основного состояния, соответствующего лагранжиану (8.78), может быть представлена в виде
Φ=𝐴 exp
⎧
⎪
⎩
-
1
2
𝑁
∑
α=1
𝑄
*
α
𝑄
α
ω
α
⎫
⎪
⎭
,
(8.83)
где 𝐴 — постоянная.
Задача 8.5. Матричный элемент перехода, в котором используется одна и та же волновая функция для начального и конечного состояний, называется ожидаемой величиной 1). Таким образом, ожидаемая величина функционала 𝐹 в состоянии Φ, заданном выражением (8.83), равна
⟨Φ
0
|𝐹|Φ
0
⟩
=
∫
…
∫
Φ
*
0
𝐹
Φ
0
𝑑𝑄
0
𝑑𝑄
1
…
𝑑𝑄
𝑁
.
(8.84)
1) Сравните это определение ожидаемой величины с определением ожидаемого значения оператора в § 3 гл. 5 [см., в частности, формулу (5.46)].
Покажите, что имеют место следующие ожидаемые величины:
⟨Φ
0
|
𝑄
α
|Φ
0
⟩
=
⟨Φ
0
|
𝑄
*
α
|Φ
0
⟩
=0,
⟨Φ
0
|
𝑄
2
α