𝑗
=
1
√𝑁
𝑁
∑
𝑘=1
𝑄
𝑘
𝑒
-𝑖𝑘𝑥𝑗
(8.89)
и
ω
𝑘
=
2ν sin
𝑘𝑑
2
.
(8.90)
Предположим теперь, что расстояние между атомами очень мало по сравнению с длиной, на которой происходит изменение возмущения. Выше мы уже видели, что условием такой ситуации является 𝑘𝑑≪1. Если обозначить произведение ν𝑑=𝑐, то для малых 𝑘𝑑. имеем ω≈𝑘𝑐. В этом случае можно представлять себе координаты 𝑞𝑗 как функции, описывающие положение атомов в цепочке, т.е. определять смещение 𝑗-го атома, как это показане на фиг. 8.3. В случае длинных волн смещения 𝑞(𝑥𝑗) и 𝑞(𝑥𝑗+1) приблизительно равны, и мы можем рассматривать функцию 𝑞(𝑥) как гладкую непрерывную функцию положения атома в цепочке. Нормальная координата 𝑄𝑘 является фурье-образом функции 𝑞(𝑥), т.е. уравнение (8.88) можно заменить на
𝑄(𝑘)
=
√𝑁
𝐿
𝐿
∫
0
𝑞(𝑥)
𝑒
𝑖𝑘𝑥
𝑑𝑥
.
(8.91)
Эта замена основывается на приближённом соотношении
𝑁
∑
𝑗=1
( )
𝑗
≈
𝑁
𝐿
𝐿
∫
0
( )
𝑑𝑥
,
(8.92)
которое выполняется тем точнее, чем меньше расстояние между отдельными точками. Подобное же соотношение, а именно
𝑁
∑
𝑘=1
( )
𝑘
≈
𝐿
2π
2π/𝑑
∫
0
( )
𝑑𝑘
,
(8.93)
приводит нас к обратному преобразованию
𝑞(𝑥)
=
𝐿
2π√𝑁
2π/𝑑
∫
0
𝑄(𝑘)
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
𝑑𝑘
.
(8.94)
Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное значение смещения 𝑗-го атома равным 𝑢𝑗, т.е. 𝑞𝑗=√𝑚𝑢𝑗, где 𝑚 — масса атома, равная ρ𝑑. Пусть 𝑈 — фурье-образ величины 𝑢, т.е.
𝑈(𝑘)
=
𝐿
∫
0
𝑢(𝑥)
𝑒
𝑖𝑘𝑥
𝑑𝑥
;
(8.95)
тогда обратное преобразование даст
𝑢(𝑥)
=
1
2π
∞
∫
-∞
𝑈(𝑘)
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
𝑑𝑘
.
(8.96)
Нормальной координатой теперь будет 𝑈(𝑘); через прежнюю нормальную координату 𝑄(𝑘) она выражается так:
𝑈(𝑘)
=
√𝑚𝐿
√𝑁
𝑄(𝑘)
.
(8.97)
Выражение для кинетической энергии, куда входит величина 𝑢(𝑥,𝑡), можно получить с помощью соотношения (8.92):
кинетическая энергия=
1
2
∫
ρ
⎧
⎪
⎩
∂𝑢
∂𝑡
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
.
(8.98)
Чтобы выразить потенциальную энергию через новые переменные, необходимо представить разность смещений двух смежных атомов, как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать
𝑞
𝑖+1
-𝑞
𝑖
=
√
𝑚
[
𝑢(𝑥
𝑖+1
,𝑡)
-
𝑢(𝑥
𝑖
,𝑡)
]
≈𝑑
√
𝑚
∂𝑢
∂𝑥
.
(8.99)
Это означает, что потенциальная энергия равна
𝑉
=
ν²𝑑²
2
𝑚
𝑑
𝐿
∫
0
⎧
⎪
⎩
∂𝑢
∂𝑥
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
=
ν𝑐²
2
𝐿
∫
0