§ 7. Трёхмерный кристалл
В принципе нет большого различия между реальным трёхмерным кристаллом и рассмотренным нами одномерным примером. Однако теперь конкретное вычисление различных модовых частот будет намного сложнее. Можно снова применить понятие о волновом числе 𝐤, которое теперь уже оказывается вектором с компонентами 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 и 𝑘𝑧. Частоты, если записать их через эти компоненты, вообще говоря, будут иметь очень сложный вид. Благодаря наличию поляризации (различных направлений колебаний) для каждого значения 𝐤 получим несколько решений. Далее, реальный кристалл часто состоит не из массива равномерно расположенных атомов, но скорее из единичных ячеек, причём каждая такая ячейка сама содержит группу атомов, размещающихся в пространстве по некоторому геометрическому закону. Если в такой единичной ячейке содержится, скажем, 𝑝 атомов, то этот пример можно иллюстрировать одномерной моделью; тогда в целом у нас имеется набор из 3𝑝 значений частот для каждой величины 𝐤.
В трёхмерном кристалле тоже можно с хорошим приближением использовать модель непрерывной среды. При этом решёточная структура кристалла, вообще говоря, заменяется на непрерывную, а особенности решётки проявляются в различии свойств непрерывной среды по направлениям (например, в анизотропии сжимаемости). Симметрия решётки находит своё выражение в симметрии констант упругости. Более того, направления колебаний (поляризация) мод не обязательно будут параллельны или перпендикулярны направлению распространения волны.
В нашем рассмотрении будем предполагать, что система обладает одинаковыми постоянными упругости по всем направлениям (вообще говоря, в произвольном кристалле это необязательно, даже если он симметричен подобно кубическому кристаллу). В этом случае у нас будут возникать колебания двух видов: продольные и поперечные, с различной скоростью, которую мы обозначим через 𝑐𝐿 для продольных и через 𝑐𝑇 для поперечных волн. Каждому 𝐤 соответствуют три моды. Одна из них имеет частоту ω𝐿=𝑐𝐿𝑘 (𝑘 — модуль вектора 𝐤). Поскольку, по предположению, направление волны не влияет на её частоту, то последняя будет функцией лишь абсолютной величины волнового числа 𝑘, не зависящей от направлений; поэтому возникают две поперечные моды (т.е. такие, когда движения атомов перпендикулярны направлению движения волны), причём обе имеют одинаковую частоту ω𝑇=𝑐𝑇𝑘.
Каждая отдельная мода, которой соответствует определённое направление поляризации, ведёт себя подобно независимому осциллятору.
Предположим, что мы имеем дело с кристаллом объёма 𝑉. Попробуем подсчитать количество мод, волновые числа которых лежат в элементарном 𝑘-объёме 𝑑³𝐤=𝑑𝑘𝑥𝑑𝑘𝑦𝑑𝑘𝑧 и около значения 𝐤. Мы предполагаем кристалл прямоугольным с длинами граней 𝐿𝑥, 𝐿𝑦 и 𝐿𝑧. Применив результаты, полученные в одномерном рассмотрении, видим, что дискретные величины 𝑘𝑥 различаются друг от друга на 2π/𝐿𝑥, так что в интервале 𝑑𝑘𝑥 имеется 𝑑𝑘𝑥𝐿𝑥/2π дискретных значений 𝑘𝑥. Применяя те же самые соображения к другим направлениям, мы найдём, что число дискретных значений 𝐤 во всем объёме 𝑑³𝐤 составляет
𝑑𝑘𝑥𝑑𝑘𝑦𝑑𝑘𝑧
(2π)³
𝐿
𝑥
𝐿
𝑦
𝐿
𝑧
=
𝑑³𝐤
(2π)³
𝑉
.
(8.117)
Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы.
В общем случае модовая частота ω𝑘, как мы уже упоминали, является очень сложной функцией 𝐤, имеющей несколько ветвей значений для одного и того же 𝐤, но её определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Квантовомеханическая задача, сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомеханической системы. Возбуждение каждой моды обычно называется возбуждением фонона.
В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твёрдом теле (т.е. продольную составляющую звуковых волн). Можно начать такое рассмотрение тем же путём, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к длинноволновому пределу — приближению непрерывной среды.