φ
=
𝛁⋅𝐮
,
(8.125)
то уравнение перепишется в виде
1
𝑐²
∂²φ
∂𝑡²
=
-
∇²φ
,
(8.126)
что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.
Выполнив преобразование Фурье уравнения (8.124) и сохранив лишь компоненту exp (𝑖𝐤⋅𝐫), параллельную вектору 𝐤, получим
-
1
𝑐²
∂²𝑈1
∂𝑡²
=
𝑘²𝑈
1
.
(8.127)
Это не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что 𝑈1(𝐤,𝑡) действительно является нормальной координатой.
Из лагранжиана, записанного в виде (8.123), можно легко получить нужные квантовомеханические результаты; например, уровни энергии лежат на величину Δ𝐸=𝑛ℏ(𝑘𝑐) выше энергии основного состояния.
Вычислим амплитуду перехода из состояния, соответствующего некоторой фиксированной системе координат 𝐮(𝐫,0), к состоянию с другой системой координат 𝐮(𝐫,𝑇). Эта амплитуда имеет вид
𝐾[
𝐮(𝐫,𝑇),𝑇
;
𝐮(𝐫,0),0
]=
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
-
𝑖ρ
2ℏ
𝑇
∫
0
𝐿𝑧
∫
0
𝐿𝑦
∫
0
𝐿𝑥
∫
0
⎡
⎢
⎣
⎪
⎪
⎪
∂𝐮
∂𝑡
⎪²
⎪
⎪
-
𝑐²
(𝛁⋅𝐮)²
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐫
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟³
𝐮(𝐫,𝑡)
.
(8.128)
Интегрирование распространяется здесь на траектории 𝐮(𝐱,𝑡), выраженные через все три компоненты вектора 𝐫 и время 𝑡. Конечно, совершенно необязательно требовать, чтобы функция 𝐮(𝐫,𝑡) имела один и тот же вид и в начальном и конечном состояниях. Здесь мы приходим к интересному развитию нашей первоначальной идеи об интеграле по траекториям. До сих пор подынтегральные выражения были функционалами одной или, возможно, нескольких функций 𝑥(𝑡) одного аргумента 𝑡, а интегрирование выполнялось по всем таким траекториям (функциям). Теперь мы должны интегрировать функционал от функции 𝐮(𝐫,𝑡) четырёх аргументов 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑡 и брать интеграл по траекториям, соответствующим всем значениям этой функции. Все необходимые при этом вычисления можно выполнить с помощью описанной выше стандартной методики, поскольку подынтегральное выражение здесь, как и раньше, является гауссовым функционалом.
Первый шаг при вычислении такого интеграла заключается в отыскании траектории, приводящей к стационарному значению интеграла под знаком экспоненты, соответствующей лагранжиану (8.123) или, что более удобно, волновому уравнению (8.126). Мы должны учесть граничные условия при 𝑡=0 и 𝑡=𝑇. Удовлетворить граничным условиям в данном случае не проблема, однако это несколько отличается от обычной классической задачи физики, где при 𝑡=0 значения координат и их производных, т.е. и 𝐮(𝐫,0) и (∂𝐮/∂𝑡)𝑡=0, заданы.
Мы могли бы следовать этим путём, однако из предыдущих примеров нам уже известно, что подобную задачу лучше всего предварительно преобразовать к нормальным координатам и интегрировать по траекториям лишь потом. Такое преобразование имеет вид
𝐾
=
𝑈1(𝑇)
∫
𝑈0(𝑇)
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖ρ
2ℏ
∑
𝐤
∫
(
𝑈̇
2
1
-
𝑘²𝑐²
𝑈
2
1
)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟
𝑈
1
(𝐫,𝑡)
,
(8.129)
где граничные условия заданы соотношениями
𝑈
1
(𝑇)
=
𝑈
1
(𝐤,𝑇)
=
𝐤
𝑘
⋅
∭
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
𝐮(𝐫,𝑇)