𝑑³𝐫
,
𝑈
1
(0)
=
𝑈
1
(𝐤,0)
=
𝐤
𝑘
⋅
∭
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
𝐮(𝐫,0)
𝑑³𝐫
.
(8.130)
Мы перешли к более простому типу интеграла по траекториям, где траектория описывается лишь как функция одной переменной 𝑡. Поскольку интеграл по траекториям может быть выражен произведением нескольких таких интегралов, каждый из которых будет определять движение только для одной нормальной моды, мы видим, что подобную задачу уже решали. Результат [см. выражение (8.10)] запишется в виде
𝐾
=
∏
𝐤
⎧
⎪
⎩
ρ𝑘𝑐
2π𝑖ℏ sin 𝑘𝑐𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖ρ𝑘𝑐
2ℏ sin 𝑘𝑐𝑇
⎧
⎨
⎩
[
𝑈
2
1
(𝐤,𝑇)
+
𝑈
2
1
(𝐤,0)
]×
×
cos 𝑘𝑐𝑇
-2
𝑈
1
(𝐤,𝑇)
𝑈
1
(𝐤,0)
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
.
(8.131)
Произведение берётся по всем значениям компонент вектора 𝐤 например, компонента 𝑘𝑥 принимает значения 2π𝑛𝑥/𝐿, где 𝑛𝑥 — целое число, изменяющееся от 0 до 𝑁=𝐿𝑥/𝑑 (напомним, что здесь 𝑑 — расстояние между атомами и что изучаемое тело имеет ребра длиной 𝐿𝑥, 𝐿𝑦 и 𝐿𝑧). Конечно, приближение непрерывной среды подразумевает нулевое расстояние между атомами, а это означает, что число сомножителей произведения в пределе неограничено. Однако мы не будем касаться этой проблемы и сконцентрируем наше внимание только на той части выражения, которая содержит зависимость от начальных и конечных координат. Поэтому, пренебрегая радикалом перед экспоненциальным членом в правой части выражения (8.131), можно приближённо написать это выражение как
𝐊
∼
exp
𝑖
2ℏ
∭
𝑘𝑐
{[
𝑈
2
1
(𝐤,𝑇)
+
𝑈
2
1
(𝐤,0)
]×
×
cos 𝑘𝑐𝑇
-2
𝑈
1
(𝐤,𝑇)
𝑈
1
(𝐤,0)
}
(sin 𝑘𝑐𝑇)
-1
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(8.132)
Выражение (8.132) сохраняет зависимость амплитуды от граничных значений 𝑈1(𝐤,0) и 𝑈1(𝐤,𝑇). Для любого выбора этих функций [а они, как видно из формул (8.130), в свою очередь зависят от функций и 𝐮(𝐫,0) и 𝐮(𝐫,𝑇)] в соотношении (8.132) может быть формально выполнено интегрирование и получен искомый результат. Таким образом, можно, хотя бы в принципе, получить ответ на все вопросы о поведении квантовомеханической системы.
§ 8. Квантовая теория поля
Предположим, что мы имеем дело с волнами или модами, которые описываются непрерывными функциями, такими, как 𝐮(𝐫,𝑡), вкоторых или вообще не учитывается структура среды, или длины волн настолько велики, что такой структурой можно пренебречь. В этом случае скажем, что 𝐮(𝐫,𝑡) является полем, т.е. функцией каждой точки пространства. В одном из примеров уже рассматривалось поле упругости, т.е. поле звуковых колебаний. При такой терминологии уравнения движения называются уравнениями поля. В данной главе мы будем иметь дело только с линейными уравнениями поля; лагранжиан назовём лагранжианом поля; нормальные координаты 𝐔(𝐤,𝑡) будут координатами нормальных мод поля. Описание этих мод в виде квантовых осцилляторов обычно называется квантованием поля. Поэтому и сама теория именуется квантовой теорией поля, с тем чтобы отличать её от классического способа рассмотрения уравнений поля.
Как мы уже видели, основная часть усилий в квантовой теории поля затрачивается на решение классических уравнений движения для отыскания нормальных мод, описание которых не выходит за рамки классической физики. Последующее «квантование» в сущности заключается лишь в дополнительном утверждении, что каждая из нормальных мод — квантовый осциллятор с уровнями энергии ℏω(𝑛+½). Изложенная таким образом квантовая теория поля оказывается лишь частным следствием уравнения Шрёдингера, а не какой-то сверхтеорией, объясняющей все.