𝐾(2;1)
=
2
∫
1
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝐀,φ]
𝒟𝐀(𝐫,𝑡)
𝒟φ(𝐫,𝑡)
,
(9.1)
где интеграл по траекториям берётся по всем значениям потенциалов 𝐀 и φ в каждой точке пространства — времени и вдоль всех путей, удовлетворяющих определённым граничным условиям в начальной и конечной мировых точках события.
§ 1. Классическая электродинамика
Уравнения Максвелла. Начнём изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла.
Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид
𝛁⋅𝐄
=
4πρ
,
(9.2)
𝛁×𝐁
=
1
𝑐
⎧
⎪
⎩
∂𝐄
∂𝑡
+
4π𝐣
⎫
⎪
⎭
,
(9.3)
𝛁⋅𝐁
=
0,
(9.4)
𝛁×𝐄
=-
1
𝑐
∂𝐁
∂𝑡
(9.5)
где 𝐄 — напряжённость электрического поля, 𝐁 — напряжённость магнитного поля, 𝑐 — скорость света, 𝐣 — плотность тока и ρ — плотность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т.е. когда
𝛁⋅𝐣
=-
∂ρ
∂𝑡
.
(9.6)
Из уравнения (9.4) следует, что пока 𝐁 можно записать как ротор некоторого вектора 𝐀:
𝐁
=
𝛁×𝐀
.
(9.7)
Это соотношение ещё не полностью определяет вектор 𝐀, однако эту неоднозначность можно устранить, полагая
𝛁⋅𝐀
=0.
(9.8)
Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырёхмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины 𝛁⋅𝐀 скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).
Подставив 𝐄+(1/𝑐)(∂𝐀/∂𝑡) в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала
𝐄
=
-𝛁φ-
1
𝑐
∂𝐀
∂𝑡
(9.9)
Уравнения (9.2) — (9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что
𝛁⋅𝐄
=
-∇²φ
=
4πρ
.
(9.10)
Если ρ=0, то φ=0 и 𝐄=-(1/𝑐)(∂𝐀/∂𝑡). При этом из уравнения (9.3), если 𝐣=0, следует
∇²𝐀
-
1
𝑐²
∂²𝐀
∂𝑡²
=0
(9.11)
[так как 𝛁×(𝛁×𝐀) = 𝛁(𝛁⋅𝛁)-𝛁²𝐀]. Таким образом, каждая компонента вектора 𝐀 удовлетворяет волновому уравнению.
Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам
𝐀(𝐑,𝑡)
=
𝐚
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
(9.12)
то уравнение для амплитуды 𝐚𝐤 запишется как 𝐚̈𝐤; отсюда следует, что каждая компонента 𝐚𝐤 — амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой ω=𝑘𝑐. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора 𝐚𝐤 в направлении 𝐤 должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде