𝐤⋅𝐚
𝐤
=0.
(9.13)
Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причём каждому значению 𝐤 будут соответствовать две поперечные волны.
Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы 𝐄, 𝐁 и 𝐤 взаимно перпендикулярны.
Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы 𝐀 и φ, а также плотности заряда и тока по плоским волнам:
𝐀(𝐑,𝑡)
=
√
4π
𝑐
∫
𝐚
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
φ(𝐑,𝑡)
=
∫
φ
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
𝐣(𝐑,𝑡)
=
∫
𝐣
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
ρ(𝐑,𝑡)
=
∫
ρ
𝐤
(𝑡)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐑
𝑑³𝐤
(2π)³
,
(9.14)
Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду 𝑒, находящемуся в точке 𝐪(𝑡) в момент времени 𝑡, имеет вид
ρ(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)
=
𝑒
δ[𝑥-𝑞
𝑥
(𝑡)]
δ[𝑦-𝑞
𝑦
(𝑡)]
δ[𝑧-𝑞
𝑧
(𝑡)]
=
𝑒
δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]
.
Покажите, что фурье-образ плотности заряда
ρ
𝑘
=
𝑒
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐪(𝑡)
.
(9.15)
Легко видеть, что плотность тока 𝐣(𝐑,𝑡) равна 𝑒𝐪̇(𝑡)δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]. Если мы имеем систему зарядов 𝑒𝑖, расположенных в точках 𝐪𝑖(𝑡), то выражения для ρ𝐤 и 𝐣𝐤 запишутся в виде
ρ
𝐤
=
∑
𝑖
𝑒
𝑖
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐪𝑖(𝑡)
,
𝐣
𝐤
=
∑
𝑖
𝑒
𝑖
𝐪̇(𝑡)
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐪𝑖(𝑡)
.
(9.16)
При этом условие (9.13) остаётся справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора 𝐁 равен 𝐁𝐤=√4π𝑐𝑖(𝐤×𝐚𝐤), соответствующий коэффициент для вектора 𝐄 равен 𝐄𝐤=-𝑖𝐤φ𝐤-√4π𝐚̇𝐤, наконец, коэффициент разложения 𝛁⋅𝐄 имеет вид 𝑖𝐤⋅𝐄𝐤=𝑘²φ𝑘, поэтому
𝑘²φ
𝑘
=
4πρ
𝑘
(9.17)
или φ𝑘=4πρ𝑘/𝑘². Функция φ𝑘 полностью определяется плотностью заряда ρ𝑘, и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, φ̈𝐤.
Задача 9.3. Докажите, что соотношение φ𝑘=4πρ𝑘/𝑘² означает следующее: величина φ𝑘 в любой момент времени 𝑡 представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность ρ соответствует некоторой совокупности зарядов 𝑒𝑖, отстоящих на расстояние 𝑟𝑖 от некоторой точки, то потенциал φ в этой точке равен
∑
𝑒
𝑖
/𝑟
𝑖
.
𝑖
Именнов этом и заключается смысл уравнения (9.10).
Уравнение (9.3), которое нужно ещё решить, запишем в виде
𝑖𝐤×𝐁
𝐤
=
1
𝑐
𝐄̇
𝐤
+
1
𝑐
4π
𝐣
𝐤
.
(9.18)
При этом учтём, что 𝑖𝐤×𝐁𝐤 = -√4π𝑐𝐤×(𝐤×𝐚𝐤) = √4π𝑐𝑘²𝐚𝐤 и 𝐄̇𝐤 = -𝑖𝐤φ̇𝐤 -√4π𝐚̈𝐤. Далее, применив равенство (9.17), заменим φ̇𝐤 на 4πρ̇𝐤/𝑘² и будем иметь
𝐚̈
𝐤
+
𝑘²𝑐²
𝐚
𝐤
=
√
4π
⎧