Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных 𝐚𝐤, то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия 𝑆3 даёт
𝑆
3
=
1
2
∫
⎧
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
𝐚̇
𝐤
+
𝑖𝐤
φ𝐤
√4π
-𝑐²
|𝐤×𝐚
𝐤
|²
⎪²
⎪
⎪
⎫
⎪
⎭
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
=
=
1
2
∫
⎧
⎪
⎩
φ
2
𝐤
𝑘²
4π
+
𝐚̇
*
𝐤
⋅
𝐚̇
𝐤
-
𝑘²𝑐²
𝐚
*
𝐤
⋅
𝐚
𝐤
⎫
⎪
⎭
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
,
(9.27)
а действие 𝑆2 при этом принимает вид
𝑆
2
=
∫
(
ρ
-𝐤
φ
𝐤
-√
4π
𝐣
-𝐤
⋅
𝐚
𝐤
)
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
.
(9.29)
После подстановки в эти выражения фурье-образа потенциала φ𝐤=4πρ𝑘/𝑘² члены, содержащие φ𝐤, дают в сумме
𝑆
𝑐
=-
4π
2
∫
ρ𝐤ρ-𝐤
𝑘²
𝑑³𝐤
(2π)³
=-
1
2
∑
𝑖
∑
𝑗
𝑒𝑖𝑒𝑗
|𝐪𝑖-𝐪𝑗|
.
(9.29)
Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла ∫(4π/𝐤²)[exp(𝑖𝐤⋅𝐑)]𝑑³𝐤=1/𝑅. Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением.
Включим его в функцию действия для частиц
𝑆
част
=
𝑆
1
+
𝑆
𝑐
=
∫
∑
𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑚𝑖
2
𝑞̇
2
𝑖
-
1
2
∑
𝑗
𝑒𝑖𝑒𝑗
|𝐪𝑖-𝐪𝑗|
⎫
⎪
⎭
(9.30)
и запишем 𝑆=𝑆част+𝑆взаим+𝑆поле. Таким образом мы разделили действие 𝑆3 для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовём действием 𝑆поле, которое соответствует полю излучения (учёт излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия 𝑆3 выбросить члены, содержащие φ𝐤. В результате получим
𝑆
поле
=
∫
(
𝑎̇
*
1𝐤
𝑎̇
1𝐤
-
𝑘²𝑐²
𝑎
*
1𝐤
𝑎
1𝐤
+
𝑎̇
*
2𝑘
𝑎̇
2𝑘
-
𝑘²𝑐²
𝑎
*
2𝑘
𝑎
2𝑘