)
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
,
(9.31)
а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно
𝑆
взаим
=
√
4π
∫
(
𝑗
1,-𝐤
𝑎
1𝐤
+
𝑗
2,-𝐤
𝑎
2𝐤
)
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
.
(9.32)
Простая вариация полного действия 𝑆 по переменным 𝑎1𝐤 и 𝑎2𝐤 даёт уравнения движения (9.21) и (9.22).
В развёрнутом виде действие 𝑆взаим записывается так:
𝑆
взаим
=
√
4π
∑
𝑗
∫
(
𝑎
1𝐤
𝑞̇
1𝑗
+
𝑎
2𝐤
𝑞̇
2𝑗
)
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐪𝑗(𝑡)
𝑑³𝐤𝑑𝑡
(2π)³
,
(9.33)
где 𝑞1𝑗 и 𝑞2𝑗 — поперечные (по отношению к вектору 𝐤) компоненты вектора 𝑞𝑗. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие 𝑆, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными 𝐪𝑗(𝑡), 𝑎1𝐤(𝑡), 𝑎2𝐤(𝑡). Переход к квантовой электродинамике осуществляется путём интегрирования по этим траекториям экспоненты 𝑒𝑖𝑆/ℏ и рассматривается в § 2.
§ 2. Квантовая механика поля излучения
Наше рассмотрение мы начнём с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения
𝑆
=
𝑆
поле
(9.34)
которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию 𝑆 для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уже рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).
Предположим, что к квантовой электродинамике можно перейти, рассмотрев эти осцилляторы как квантовомеханические; справедливость такого допущения тоже обсуждалась нами в гл. 8. Каждому значению 𝐤 в нашей системе соответствуют две бегущие волны с поляризацией 1 и 2 и частотой ω=𝑘𝑐. Для каждой из этих волн (например, волны с амплитудой 𝑎1𝐤) возможные энергетические уровни будут равны
𝐸
1𝐤
=
⎧
⎪
⎩
𝑛
1𝐤
+
1
2
⎫
⎪
⎭
ℏ𝑘𝑐
,
(9.35)
где 𝑛1𝐤 — произвольное положительное целое число или нуль.
Если 𝑛1𝐤=1, то говорят, что имеется один фотон с поляризацией 1 и импульсом ℏ𝑘. В общем случае мы имеем 𝑛1𝐤 таких фотонов, и энергия каждого из них равна ℏ𝑘𝑐.
Задача 9.5. Пусть импульс электромагнитного поля задаётся в виде (1/4π𝑐)∫𝐄×𝐁𝑑(объём). Покажите, что в вакууме (при этом φ𝐤=0 последнее выражение равно ∫𝐤(𝐚*𝐤⋅𝐚̇𝐤)𝑑³𝐤/(2π)³.
Позднее, при рассмотрении взаимодействия вещества с полем излучения, обнаружится, что вещество излучает или поглощает энергию отдельными фотонами с энергией ℏω. Это, очевидно, согласуется с первоначальной гипотезой Планка.
Тот факт, что 𝑛-е состояние осциллятора можно рассматривать как совокупность 𝑛 «частиц» или «фотонов», кажется очень поразительным и неожиданным; однако значения энергии в обоих описаниях совпадают. Вместе с тем существует одно обстоятельство, на которое стоит обратить внимание до того, как мы начнём описывать поведение совокупности частиц состояниями осциллятора. Допустим, что из всех чисел 𝑛𝑗 отличны от нуля лишь два (например, 𝑛𝑎=1, 𝑛𝑏=1). Эту ситуацию мы вправе интерпретировать двумя фотонами, один из которых находится в состоянии 𝑎, а другой — в состоянии 𝑏. Однако при таком подходе существуют два допустимых описания, отвечающих одной и той же энергии; в самом деле, ничто не мешает нам считать, что первый фотон находится в состоянии 𝑏, а второй — в состоянии 𝑎. Чтобы найти выход из этого положения, рассмотрим конкретный пример. Пусть мы имеем две α-частицы, координаты которых обозначим соответственно через 𝑥 и 𝑦; состояние частицы 𝑥 будем описывать функцией 𝑓(𝑥), а частицы 𝑦 — функцией 𝑔(𝑦). Тогда волновая функция системы выражалась бы функцией двух переменных: 𝑥 и 𝑦: