𝑘𝑐
2ℏ
(
𝑎
*
1𝐤
𝑎
1𝐤
+
𝑎
*
2𝐤
𝑎
2𝐤
)
⎤
⎥
⎦
.
(9.43)
Задача 9.6. Покажите, используя синусоидальные и косинусоидальные моды с действительными переменными, что последнее выражение, в которое входят комплексные переменные, действительно является справедливым (ср. задачу 8.4).
Задача 9.7. Покажите, что для вакуумного состояния среднее значение величины 𝑎*1𝐤𝑎1𝑙 равно (ℏ/2𝑘𝑐)δ𝑘𝑙. Выведите формулу для среднего значения величины (𝑎*1𝑘𝑎1𝑘)𝑟, где 𝑟 — целое число, и укажите, как, пользуясь этой формулой, получить среднее значение произведения (𝑎*1𝑘𝑎1𝑘)𝑟 (𝑎*1𝑝𝑎1𝑝)𝑠 при 𝐩≠𝐤. Покажите, что среднее значение величины (𝑎1𝑘)² или (𝑎*1𝑘)² и среднее значение произведения любого нечётного числа величин 𝐚 равны нулю. Покажите также, каким образом можно вычислить для вакуумного состояния ожидаемое значение любого произведения величин 𝑎 или 𝑎*.
Задача 9.8. Если состояние определяется единственным фотоном, который находится в состоянии 1𝐤, все множители в волновой функции имеют вид φ0, за исключением одного, равного φ1. Для осциллятора при этом выполняется равенство φ1(𝑞)=𝑞φ0(𝑞). Волновая функция, представляющая возбуждённую волну, записывается в виде линейной комбинации: 1) волновой функции состояния с возбуждённой косинусоидальной модой и 2) умноженной на 𝑖 волновой функции состояния с возбуждённой синусоидальной модой. Используя это, покажите, что волновая функция однофотонного состояния 1𝐤 имеет вид 𝑎*1𝐤Φ0. Она не нормирована. Квадрат нормировочной постоянной ∫Φ*0𝑎1𝐤𝑎*1𝐤Φ0 (или ожидаемое значение величины 𝑎1𝐤𝑎*1𝐤 для вакуума), как мы видели в предыдущей, задаче, есть ℏ/2𝑘𝑐. Отсюда следует, что нормированная волновая функция однофотонного состояния представляется в виде √2𝑘𝑐/ℏ𝑎*1𝐤Φ0.
§ 4. Взаимодействие поля с веществом
С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения:
амплитуда
=
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑆
част
+𝑆
взаим
+𝑆
поле
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
∏
𝑖,𝐤
×
×
𝒟𝐪
𝑖
𝒟𝑎
1𝐤
𝒟𝑎
2𝐤
.
(9.44)
Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.
Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнём с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует 𝑆взаим мало и разложение ведётся только до членов первого порядка малости).
Если пренебречь функцией действия 𝑆взаим то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями Ψ𝑁(𝐪) имеют энергии 𝑒𝑁, где 𝑁=0, 1, 2 …, а символом 𝐪 обозначены радиусы-векторы 𝐪𝑖 всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений 𝑛1𝑘 и 𝑛2𝑘.
Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны
𝐸
=
𝑒
𝑁
+