амплитуда
=
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆част
𝑋[𝑞]
𝒟𝑞
,
(9.60)
где
𝑋[𝑞]
=
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝑆взаим+𝑆поле)
∏
𝐤
𝑑𝑎
1𝐤
𝑑𝑎
2𝐤
(9.61)
—функционал от переменных 𝑞, которые входят в первую часть равенства через токи 𝑗. Так как действие представляется в виде суммы вкладов от каждой моды
∏
(𝑆
1𝐤
+𝑆
2𝐤
)
,
𝑘
где
𝑆
=
∫
⎡
⎢
⎣
√
4π
(𝑗𝑎*+𝑗*𝑎)
+
1
2
𝑎̇*𝑎̇
-
𝑘²𝑐²
2
𝑎*𝑎
-
ℏ𝑘𝑐
2
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
(9.62)
то ясно, что функционал 𝑋 представляет собой произведение соответствующих сомножителей. Интеграл для произвольной моды можно записать как
𝑋
1𝐤
=
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
⎧
⎪
⎩
√
4π
𝑗
*
1𝐤
𝑎
1𝐤
+
√
4π
𝑗
1𝐤
𝑎
*
1𝐤
+
+
1
2
𝑎̇
*
1𝐤
𝑎̇
1𝐤
-
𝑘²𝑐²
2
𝑎
*
1𝐤
𝑎
1𝐤
ℏ𝑘𝑐
2
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑎
1𝐤
=
=
exp
⎡
⎢
⎣
-
4π
2ℏ
∫
𝑗
1𝐤
(𝑡)
𝑗
*
1𝐤
(𝑠)
1
2𝑘𝑐
𝑒
-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
⎤
⎥
⎦
.
(9.63)
С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в § 9 гл. 8 с той лишь разницей, что функция γ(𝑡) в формуле (8.136) теперь заменяется на γ=√4π𝑗1𝐤 и ω равно 𝑘𝑐 тогда окончательное выражение (9.63) совпадёт с формулой (8.138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех 𝑘 и обеих поляризаций даёт функционал 𝑋=exp(𝑖𝐼/ℏ), где
𝐼=
1
2
∑
𝐤
∫
[
𝑗
1𝐤
(𝑡)
𝑗
*
1𝐤
(𝑠)
+
𝑗
2𝐤
(𝑡)
𝑗
*
2𝐤
(𝑠)
]
4π
2𝑘𝑐
𝑒
-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
(9.64)
Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу:
амплитуда
=
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆
част
+𝐼)
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑞(𝑡)
.
(9.65)
Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10 ).
Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не 𝑆част, а модифицированная функция 𝑆'част=𝑆част+𝐼. Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем.