2𝑘𝑐
(𝐸
𝑀
-𝐸
𝑁
-𝑘ℏ𝑐+𝑖ε)]
-1
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(9.68)
Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде
Δ𝐸
=
δ𝐸
-
𝑖ℏγ
2
.
Действительная часть δ𝐸 соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом — так называемому лэмбовскому сдвигу. Этот сдвиг составляет
δ𝐸
=
∑
𝑁
∫
[
|(𝑗
1𝐤
)
𝑁𝑀
|²
+
+
|(𝑗
2𝐤
)
𝑁𝑀
|²
]
𝐏.𝐏.
(𝐸
𝑀
-𝐸
𝑁
-ℏ𝑘𝑐)
-1
4πℏ
2𝑘𝑐
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(9.69)
Мнимая часть Δ𝐸 имеет вид
ℏγ
2
=
∑
𝑁
∫
[
|(𝑗
1𝐤
)
𝑁𝑀
|²
+
+
|(𝑗
2𝐤
)
𝑁𝑀
|²
]
πδ
(𝐸
𝑀
-𝐸
𝑁
-ℏ𝑘𝑐)
4πℏ
2𝑘𝑐
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(9.70)
Амплитуда вероятности того, что атом остаётся в возбуждённом состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как exp [-𝑖(𝐸𝑚+δ𝐸-𝑖γ/2)𝑇/ℏ] и соответствующая вероятность равна exp (-γ𝑇). Таким образом, вероятность того, что атом остаётся в состоянии 𝑀, экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания γ.
Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии 𝑀 может испустить фотон и перейти в более низкое состояние 𝑁. Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что γ действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния 𝑀 во все нижележащие состояния 𝑁.
§ 5. Электрон в поле излучения
Поправка к энергии. Чтобы лучше понять смысл электромагнитной поправки к энергии, рассмотрим очень простой пример: систему, состоящую всего лишь из одного движущегося заряда, положение которого характеризуется вектором 𝐑 (например, атом водорода с бесконечно тяжёлым ядром или свободный электрон в пустом пространстве). Тогда ток 𝐣=𝑒𝐑̇ exp(𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ).
В данном случае ток 𝐣 содержит 𝐑̇, поэтому в соответствии с § 3 гл. 7 при рассмотрении членов второго порядка малости нам следует проявить некоторую осторожность. Поправка к энергии δ𝐸 содержит дополнительный член, связанный с квадратом скорости 𝑅̇². Выражая 𝐑̇ (подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 7) через оператор импульса 𝐩, получаем
δ𝐸
1
=
∑
𝑁
∫
𝑑³𝐤
2𝑘𝑐 (2π)³
(
|𝐩
1
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐑
|
2
𝑁𝑀
+
+
|𝐩
2
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐑
|
2
𝑁𝑀
)
4π𝑒²ℏ
𝑚²(𝐸𝑀-𝐸𝑁-ℏ𝑘𝑐)
+
4π𝑒²
𝑚
∫
ℏ
2𝑘𝑐
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(9.71)
Задача 9.10. Почему нет необходимости точно вычислять в матричных элементах экспоненту ½[𝐩1 exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ) + exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)𝐩1]?
Рассмотрим теперь простейший случай покоящегося свободного электрона. В этом случае поправка к энергии, связанная с полем, в любом состоянии представляет собой поправку к энергии покоя, или, как это следует из теории относительности,— к массе δ𝑚=δ𝐸𝑅/𝑐². Это и есть так называемая электромагнитная масса электрона. Состояния покоящейся свободной частицы описываются плоскими волнами. Если 𝑀 и 𝑁 — импульсы электрона соответственно в состояниях 𝐩𝑀 и 𝐩𝑁, то матричный элемент [𝐩1 exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)𝑁𝑀] всегда равен нулю, за исключением случая 𝐩𝑁=𝐩𝑀-𝐤 он равен 𝐩1𝑁 Поэтому матричный элемент, соответствующий первоначально покоившемуся электрону, равен нулю, а поправка δ𝐸𝑅 здесь есть не что иное, как последний расходящийся интеграл в выражении (9.71).