Затруднения с короткими волнами. Однако это ещё не все. Когда мы выделяли в 𝑆𝑐 член, содержащий ρ𝑘ρ𝑘/2𝑘², уже указывалось, что этот член соответствует взаимодействию точечных зарядов
½
∑
𝑖,𝑗
𝑒
𝑖
𝑒
𝑗
|𝑞
𝑖
-𝑞
𝑗
|
-1
,
однако не было отмечено, что при этом в сумму должны включаться также и расходящиеся члены с 𝑖=𝑗. Действительно, для отдельной частицы ρ𝑘=𝑒 exp(𝑖𝐤⋅𝐪), поэтому ½|ρ𝑘|²/𝑘² = 4π𝑒²/2𝑘² и в выражение 𝑆𝑐 войдёт интеграл 4π𝑒²∫(½𝑘²)𝑑³𝑘/(2π)³. Здесь и выше в δ𝐸𝑅 расходимости не сокращаются, и мы встречаемся с серьёзной трудностью: интегралы по импульсу 𝑘 оказываются квадратично расходящимися, квантовая электродинамика даёт бессмысленный результат.
Правда, наше рассмотрение заряженной частицы было нерелятивистским. Однако релятивистское рассмотрение вещества (квантовая электродинамика при этом не изменяется) не избавляет нас от расходящихся результатов, хотя порядок расходимости может при этом измениться.
Для частицы с нулевым спином, подобной π-мезону, степень расходимости не изменяется и по-прежнему остаётся квадратичной. Здесь, однако, мы имеем возможность определить экспериментальное значение поправки к массе. Насколько известно, заряженный и нейтральный π-мезоны различаются только зарядом, т.е. по-разному взаимодействуют с электромагнитным полем, оставаясь неразличимыми при всех других взаимодействиях. Поэтому можно предполагать, что различие масс заряженного и нейтрального π-мезонов (их массы равны соответственно 𝑚π = 273,2 и 264,2 электронных масс), составляющее 9,0 электронных масс, равно 0,034 𝑚π = 4,6 Мэв, т.е. равно энергии, заключённой в электромагнитном поле.
Ограничим верхние пределы интегрирования в расходящихся интегралах некоторым импульсом 𝑘макс (такая операция, к сожалению, релятивистски неинвариантна). Тогда последний член соотношения (9.71), который в случае ℏ𝑘макс/𝑐≫𝑚π значительно превосходит два других, даст значение энергии, равное 𝑒²(𝑘макс)²/2π𝑚π𝑐. Если это значение приравнять величине 𝑚π±-𝑚π0 = 0,034 𝑚π𝑐², т.е. положить (𝑒²/2πℏ𝑐)(ℏ𝑘макс/𝑚π𝑐)² = 0,034, то для 𝑘макс получим оценку
𝑘
макс
≈
5,4𝑚π𝑐
ℏ
≈
0,8𝑀𝑐
ℏ
,
где 𝑀 — масса протона. (Релятивистская теория даёт Δ𝐸 = 0,034𝑚π при обрезании приблизительно на том же значении 𝑘макс). Именно поэтому мы считаем, что наши сегодняшние представления о квантовой электродинамике (или о «частицах», с которыми взаимодействуют фотоны) весьма неудовлетворительны. Затруднения появляются, когда мы имеем дело с энергиями, большими массы протона, или с соответствующими величинами частот и волновых чисел. Эти трудности связаны с собственными колебаниями, длина волны λ которых меньше чем 10-14 см.
Согласно теории Дирака, электрон, спин которого равен ½, должен обладать определённым магнитным моментом. Оказывается, что такому магнитному моменту соответствует отрицательная магнитная энергия, которая почти полностью компенсирует положительную электрическую энергию. Разность этих энергий, как и раньше, расходится, однако теперь только логарифмически. Если в соответствующих интегралах провести обрезание тех же длин волн, что и выше, то поправка к массе электрона составит всего лишь около 3%, однако этого сейчас никак нельзя проверить, так как электрон не имеет нейтрального партнёра.
Аномальный магнитный момент протона так велик, что его магнитная энергия превышает электрическую и поправка может стать отрицательной. Нейтрон также имеет магнитный момент, поэтому поправка для него тоже отрицательна. Однако магнитный момент протона больше, и именно этим можно объяснить тот факт, что нейтрон тяжелее протона. Если расходящиеся интегралы обрезать на величине энергии порядка протонной массы, получается правильное значение разности масс протона и нейтрона, несмотря на очень грубый способ вычисления этой точно измеренной величины Δ𝑀 = 782,71 ± 0,40 кэв [25]. Массовые различия между различными частицами — протоном и нейтроном, заряженным и нейтральным пионами, положительным, нейтральным и отрицательным Σ-гиперонами и т.д.— бросают серьёзный вызов современной физике 1) и, возможно, указывают на недостаточность квантовой электродинамики как полной теории, описывающей электромагнитные явления. Мы не знаем, что на самом деле ошибочно: квантовая электродинамика или наше предположение о распределении заряда внутри частиц. Только когда у нас будет завершённая полная теория частиц и их взаимодействий, мы сможем выяснить ограничения нашей теперешней теории квантовой электродинамики (или, во всяком случае, некоторые из них).