δ𝐸''
=-
(𝐩⋅𝐩)𝑀𝑀
2𝑚
8π𝑒²
3𝑚𝑐²
∫
𝑑³𝑘
(2π)³𝑘²
.
(9.77)
Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии 𝑝²/2𝑚0 следовало бы заменить выражением
𝑝²
2𝑚
≈
𝑝²
2𝑚0
⎧
⎪
⎩
1-
δ𝑚
𝑚0
⎫
⎪
⎭
,
(9.78)
а член δ𝐸''' как раз должен соответствовать добавке -(𝑝²/2𝑚0)δ𝑚. Однако мы уже учитывали этот член, когда с помощью уравнения Шрёдингера вычисляли значения энергетических уровней и использовали выражение 𝑝²/2𝑚 с экспериментально наблюдаемой массой 𝑚. Поправка δ𝐸''' однозначно отождествляется с добавкой к кинетической энергии, поскольку она является единственной поправкой для движущегося свободного электрона и пропорциональна кинетической энергии 1). Наконец, если даже интерпретация этих поправок является неверной, то при вычислении разности энергий для состояний 2𝑠 и 2𝑝 эти поправки выпадают, так как значения δ𝐸''' и δ𝐸𝑐 одинаковы для всех состояний; одинаковыми являются и значения δ𝐸'', поскольку для состояний 2𝑠 и 2𝑝 матричный элемент (𝑝²/2𝑚)𝑀𝑀 один и тот же.
1) Значение δ𝑚 которое следует из формулы (9.77), равно (8π𝑒²/3𝑐²)∫𝑑³𝑘/𝑘² и не совпадает со значением δ𝑚 из выражения δ𝐸/𝑐², соответствующего неподвижному электрону. Это происходит потому, что мы ограничиваемся нерелятивистским приближением. Если провести полностью релятивистское рассмотрение, то оба способа вычисления дают одно и то же значение δ𝑚.
При вычислении поправки δ𝐸' предполагалось вполне оправданным дипольное приближение. В этом случае матричные элементы не зависят от 𝐤, и, вычислив интеграл
∫
𝑑³𝐤
𝑘²
1
𝐸𝑀-𝐸𝑁-ℏ𝑘𝑐
=
4π
ℏ𝑐
ln
ℏ𝑘макс𝑐
𝐸𝑀-𝐸𝑁
,
(9.79)
мы получим
δ𝐸'
=
𝑒²
π𝑚²ℏ𝑐³
∑
𝑀
⎡
⎢
⎣
ln
⎧
⎪
⎩
ℏ𝑘макс𝑐
𝐸𝑀-𝐸𝑁
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
(𝐸
𝑀
-𝐸
𝑁
)
2
3
|𝐩
𝑁𝑀
|²
.
(9.80)
Поскольку для атома водорода известны состояния и матричные элементы, по которым проводится суммирование в (9.80), то сумма может быть вычислена и неясным остаётся лишь вопрос о выборе значения ℏ𝑘макс𝑐. Бете обосновал свой выбор этого параметра тем, что нерелятивистское приближение становится несправедливым в области больших значений 𝑘, и если проделать последовательно релятивистские вычисления, то значение ℏ𝑘макс𝑐 оказалось бы, по-видимому, порядка 𝑚𝑐². Выбор значения ℏ𝑘макс𝑐=𝑚𝑐² дал для сдвига 2𝑠½- и 2𝑝½-уровней величину, равную приблизительно 1000 Мгц, так что Бете мог рассчитывать, что он находится на правильном пути.
Оставалось ещё сделать релятивистский расчёт, используя дираковские волновую функцию и состояния. Только на этом пути можно было дать точное определение величины 𝑘макс. Однако это оказалось совсем не простым делом, так как возникали трудности с идентификацией различных расходящихся членов. Если применить к этим членам процедуру обрезания при некотором максимальном значении импульса и иметь дело с полученными таким образом конечными величинами, то и тогда ситуация не проясняется, так как такая процедура не является релятивистски-инвариантной вследствие того, что с импульсом и энергией мы обращаемся здесь по-разному. (Одно следствие этого обстоятельства уже отмечалось нами в примечании на стр. 280.) Метод, устраняющий эти затруднения, был развит Швингером, который показал , как можно в явном виде сохранить релятивистскую инвариантность на протяжении всего расчёта и одновременно идентифицировать все бесконечные члены. Другой метод, разработанный Фейнманом, сводился к релятивистски инвариантной процедуре обрезания бесконечных интегралов. Рассмотрим этот метод подробнее.