Полный эффект от действия электромагнитного поля, которой на этот раз включает в себя и кулоновское взаимодействие, учитывается дополнительным членом 𝐼+𝑆𝑐 в функции действия. Релятивистская инвариантность функции 𝐼, представленной в форме, подобной (9.64), далеко не очевидна, так как в эту формулу входят переменные 𝐤 и 𝑡, а не 𝐑 и 𝑡 или 𝐤 и ω. Выразим функцию 𝐼, используя в качестве переменных частоту ω и волновое число 𝐤. Для этого прежде всего заметим, что интеграл
∞
∫
-∞
𝑒
-𝑖𝑘𝑐|τ|
𝑒
-𝑖ωτ
𝑑τ
=
2𝑖𝑘𝑐
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
,
(9.81)
или
𝑒
-𝑖𝑘|𝑡-𝑠|𝑐
=
∫
2𝑖𝑘𝑐 𝑑ω/2π
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
.
(9.82)
Если определить
𝑗(𝐤,ω)
=
∫
𝑗
𝐤
(𝑡)
𝑒
+𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
=
∬
𝑗(𝐑,𝑡)
𝑒
-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
,
(9.83)
то функция 𝐼 запишется в виде
𝐼
=
-2π
∫
|𝑗1(𝐤,ω)|²+|𝑗2(𝐤,ω)|²
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
𝑑³𝐤 𝑑ω
(2π)4
.
(9.84)
Релятивистская симметрия этого выражения относительно переменных ω и 𝐤 вполне очевидна, так как выражение ω²-𝐤²𝑐² — инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Однако токи входят в выражение (9.84) релятивистски несимметрично.
Нам была бы нужна релятивистски-инвариантная комбинация типа 𝑐²ρ²-𝐣⋅𝐣, так как величины ρ𝑐 и 𝐣 образуют четырёхмерный вектор. Чтобы получить такую комбинацию, положим
ρ(𝐤,ω)
=
∫
ρ
𝐤
(𝑡)
𝑒
+𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
=
∬
ρ(𝐑,𝑡)
𝑒
-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
;
(9.85)
тогда часть функции действия, соответствующая кулоновскому взаимодействию, запишется в виде
𝑆
𝑐
=
∫
|ρ(𝐤,ω)|²
𝑘²
𝑑ω
=
(ωρ/𝑘)²-ρ²𝑐²
ω²-𝑘²𝑐²
𝑑ω
,
(9.86)
причём последний интеграл образуется здесь умножением числителя и знаменателя предыдущей подынтегральной функции на ω²/𝑘²-𝑐². Закон сохранения тока
-
-∂ρ
∂𝑡
=
𝛁⋅𝐣
(9.87)
запишется теперь как
ωρ(𝑘,ω)
=
𝐤⋅𝐣(𝐤,ω)
.
(9.88)
С другой стороны, если обозначить через 𝑗3 компоненту вектора 𝐣 в направлении 𝐤, то 𝑗3=ωρ/𝑘 и
𝐼+𝑆
𝑐
=
-2π
×
×
∫
|𝑗1(𝐤,ω)|²+|𝑗2(𝐤,ω)|²+|𝑗3(𝐤,ω)|²-𝑐²|ρ(𝐤,ω)|²
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
×
×
𝑑³𝐤 𝑑ω
(2π)4
.
(9.89)
Сумма трёх токовых членов представляет собой не что иное, как скалярное произведение 𝐣(𝐤,ω)⋅𝐣(𝐤,ω); поэтому выражение (9.89) — скаляр и его релятивистская инвариантность очевидна.
Учитывая неполноту наших сегодняшних представлений о квантовых законах взаимодействия, предположим, что расходящиеся интегралы можно регуляризировать простым введением в подынтегральное выражение релятивистски-инвариантного множителя
⎧
⎪
⎩
Λ²
ω²-𝑘²𝑐²-Λ²+𝑖ε
⎫²
⎪
⎭
где величина Λ — некоторая достаточно большая частота. При малых значениях величин ω и 𝑘 этот множитель близок к единице, в то время как для высоких частот он обрезает подынтегральную функцию. Очевидно, что такая операция не нарушает релятивистской инвариантности интеграла. Теперь все физические величины должны вычисляться нами с учётом того, что действие 𝐼+𝑆𝑐 содержит этот обрезающий множитель. Если, подобно лэмбовскому сдвигу они будут нечувствительны к выбору конкретного значения Λ (лишь бы это значение было достаточно велико), то теоретический результат можно считать достоверным. Если же результат расчёта существенно зависит от выбора Λ (как это имеет место, например, для разности масс нейтрального и заряженного пионов), то его количественную величину установить невозможно, поскольку обрезающая функция произвольна, а сам приём с её введением уже нельзя считать удовлетворительным.