Таково состояние квантовой электродинамики на сегодняшний день.
Задача 9.11. Покажите, что метод обрезающей функции действительно не является вполне удовлетворительным теоретически. Для этого покажите, что величина γ, вычислявшаяся в § 4 гл. 9, изменяется после введения обрезания, тогда как вероятность излучения реального фотона не должна изменяться (для него ω=𝑘𝑐 и функция обрезайия точно равна единице). Таким образом, нарушился бы баланс вероятностей и сумма их по всем возможным событиям (фотон излучился или не излучился) стала бы отличной от единицы.
Трудность, возникающая в связи с этой проблемой, до сих пор остаётся неразрешённой. Нам пока не известно никакой модификации квантовой электродинамики в области высоких частот, которая одновременно сделала бы все результаты конечными, не нарушала бы релятивистской инвариантности и сохраняла значение суммы вероятностей всех альтернатив равным единице.
Задача 9.12. Используя соотношение
∫
𝑒
𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)
𝑐𝑑³𝐤 𝑑ω/(2π)4
(2π)4(ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε)
=
𝑖
(𝑡²𝑐²-𝑅²+𝑖ε)(2π)²
=
=
1
4π
δ
+
(𝑡²𝑐²-𝑅²)
.
(9.90)
перейдите в функции действия 𝐼+𝑆𝑐 к пространственным координатам. [Замечание: функцию -π𝑖(𝑥-𝑖ε) часто записывают как δ+(𝑥) мы тоже пользуемся этим обозначением.] В результате должно получиться
𝐼+𝑆
𝑐
=
1
2𝑐
∫
[𝑐²
ρ(𝐑
1
,𝑡
1
)
ρ(𝐑
2
,𝑡
2
)
-
𝐣(𝐑
1
,𝑡
1
)
𝐣(𝐑
2
,𝑡
2
)
]×
×
δ
+
[
(𝑡
1
-𝑡
2
)²
𝑐²
-
|𝐑
1
-𝐑
2
|²
]
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
.
(9.91)
§ 7. Излучение света
В § 4 гл. 9 мы нашли выражение для амплитуды вероятности того, что поведение материальной системы зависит от её взаимодействия с электромагнитным полем; это выражается формулой (9.60) и последующими выкладками. Однако наш вывод относился лишь к специальному случаю, когда начальное и конечное состояния поля являются вакуумными и не содержат фотонов. Мы видели, что при этом действие 𝑆част в интегралах по траекториям следует заменять на эффективное действие 𝑆'част=𝑆част+𝐼.
В общем случае фотоны поля присутствуют как в начале, так и в конце процесса. Для примера рассмотрим случай, когда в начальном состоянии нет ни одного фотона, а в конечном участвует один фотон с импульсом ℏ𝐋 и поляризацией 1. Единственное изменение, которое при этом вносится в наши предыдущие расчёты, касается интеграла для действия 𝑆, т.е. выражения (9.61). Теперь мы должны пользоваться соотношением
𝑋'
=
π
𝑘
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆
част
+𝑆
поле
)
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑎
1
𝑘
𝒟𝑎
2
𝑘
,
(9.92)
где интегрирование по траекториям выполняется между начальным состоянием вакуума и конечным, содержащим то же состояние вакуума плюс один фотон. В этом случае каждый осциллятор, кроме осциллятора 1𝐋, переходит из начального состояния 𝑛=0 в такое же конечное состояние; поэтому интеграл 𝑋1𝐤 для всех этих осцилляторов не изменяется. Изменится лишь вклад от осциллятора 1𝐋, который теперь становится равным
𝑋
'
1𝐤
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
∫
⎡
⎢
⎣
√
4π
(
𝑗