*
1𝐋
𝑎
1𝐋
+
𝑗
1𝐋
𝑎
*
1𝐋
)+
+
𝑎̇
*
1𝐋
𝑎̇
1𝐋
-
𝑘²𝑐²
𝑎
*
1𝐋
𝑎
1𝐋
-
ℏ𝐋𝑐
2
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑎
1𝐋
(9.93)
Это выражение такого же типа, как и выражение (9.63), за исключением того, что переход осциллятора совершается между состояниями 𝑛=0 и 𝑛=1, тогда как ранее конечное состояние считалось также вакуумным. В § 9 гл. 8 мы рассмотрели поведение гармонического осциллятора под действием внешней силы; теперь воспользуемся этим результатом и запишем
𝑋
'
1𝐤
=
⎧
⎪
⎩
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
𝑗
1𝐋
𝑒
𝑖𝐿𝑐𝑡
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
𝑋
1𝐤
,
(9.94)
где 𝑋1𝐤 — вычислявшееся выше выражение для перехода из вакуумного в вакуумное состояние. Мы видим, что появление одного фотона в конечном состоянии выражается в появлении множителя
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
𝑗
1𝐋
𝑒
𝑖𝐿𝑐
𝑑𝑡
Поэтому для амплитуды вероятности мы можем записать
Амплитуда
=
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆
част
+𝐼)
⎤
⎥
⎦
∫
𝑗
1𝐋
exp(𝑖𝐿𝑐𝑡)
𝑑𝑡
𝒟𝑞
.
(9.95)
Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
част
⎫
⎪
⎭
∫
𝑗
1𝐋
exp(𝑖𝐿𝑐𝑡)
𝑑𝑡
𝒟𝑞
.
(9.96)
Очевидно, что полученный результат точно совпадает с результатом теории возмущений, если при вычислении амплитуды перехода вместо действия 𝑆'част применить полное эффективное действие 𝑆'част=𝑆част+𝐼.
Выше было показано, что введение действия 𝐼 приводит к небольшому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными. Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной линии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на большее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.
§ 8. Краткие выводы
Обозрение подхода в целом. В этой главе мы довольно много занимались исследованием квантованного электромагнитного поля. Стоит потратить некоторое время и вернуться назад, чтобы подчеркнуть основные идеи и полученные результаты.
Выделение кулоновского взаимодействия и применение бегущих волн для наших целей являются лишь техническими приёмами; наиболее значительный результат содержится в выражении (9.89) или в эквивалентном ему (9.91). Рассмотрим этот результат с более общей точки зрения, приняв за основу выражение (9.91). Допустим, что наша система может быть описана с помощью действия
𝑆
=
𝑆
1
(𝐪)
+
𝑆
2
(𝐪,𝐀,φ)
+
𝑆
3
(𝐀,φ)
,
(9.97)
где член 𝑆1(𝐪) относится к веществу, член 𝑆2 — к взаимодействию вещества и поля, а член 𝑆3 — лишь к полю. Символом 𝐪 обозначены здесь координаты материальных тел, а поле описывается координатами 𝐀 и φ. Тогда амплитуда вероятности какого-либо события получается в результате вычисления интеграла типа