𝐾
=
∫
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
[
𝑆
1
(𝐪)
+
𝑆
2
(𝐪,𝐀,φ)
+
𝑆
3
(𝐀,φ)
]
⎫
⎬
⎭
𝒟𝐪
𝒟𝐀
𝒟φ
,
(9.98)
причём вопрос о граничных условиях задачи остаётся открытым.
Будем далее предполагать, что в начальном и конечном состояниях поля фотоны отсутствуют (т.е. поле переходит из вакуумного состояния снова в вакуумное). Такой выбор граничных условий мы сокращённо обозначим как вак-вак. Затем мы всегда будем интегрировать сначала по переменной 𝐪, а лишь после этого по 𝐀 и φ. То, что мы делали до сих пор, соответствовало обратному порядку интегрирования: сначала по 𝐀 и φ, а в качестве заключительного шага по 𝐪.
Обычно действие 𝑆2(𝐪,𝐀,φ) линейно зависит от переменных поля 𝐀 и φ и может быть записано в виде
𝑆
2
=
∫
[
ρ(𝐑,𝑡)
φ(𝐑,𝑡)
-
𝐣(𝐑,𝑡)
⋅
𝐀(𝐑,𝑡)
]
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
,
(9.99)
где ρ и 𝐣 — соответственно плотности заряда и тока, зависящие только от 𝐪. Тогда интеграл по 𝐀 и φ в формуле (9.98) гауссов и легко вычисляется.
Основной смысл соотношения (9.91) заключается в том, что оно даёт нам значение этого интеграла, а именно
вак
∫
вак
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
⎡
⎢
⎣
𝑆
3
(𝐀,φ)
+
∫
(ρφ-𝐣⋅𝐀)
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
×
×
𝒟𝐀
𝒟φ
=
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝐽
⎫
⎪
⎭
,
(9.100)
где действие 𝐽, которое в формуле (9.91) мы обозначали как 𝐼+𝑆𝑐, равно
𝐽
=
𝑖
∫
[𝑐²
ρ(𝐑
1
,𝑡
1
)
ρ(𝐑
2
,𝑡
2
)
-
𝐣(𝐑
1
,𝑡
1
)
⋅
𝐣(𝐑
2
,𝑡
2
)
]δ
+
[
(𝑡
1
-𝑡
2
)²
𝑐²
-
-
|𝐑
1
-𝐑
2
|²
]
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
(9.101)
для любых функций ρ и 𝐣, зависящих от 𝐑 и 𝑡. В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89).
Функции ρ и 𝐣, которые входят в соотношение (9.98), зависят от 𝐪 и 𝐪̇; поэтому мы получаем результат в виде
𝐾
(вак-вак)
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
[𝑆
1
(𝐪)+𝐽(𝐪)]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐪
,
(9.102)
где функционал 𝐽(𝐪) определяется выражением (9.101), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения ρ и 𝐣. Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала 𝐽(𝐪). Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9.100) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики.
Общая формулировка квантовой электродинамики. Интересно также провести исследование в другом направлении, интегрируя вначале по всем координатам материальных тел, а лишь потом по полевым переменным. Мы ограничимся кратким описанием того, что при этом получается. Если в выражении (9.98) начинать с интегрирования по 𝐪, то множитель exp[(𝑖/ℏ)𝑆3] можно опустить, так как он не зависит от 𝐪. Вводя обозначение