∂𝑢2
=
∑
𝑖
𝐸
𝑖
φ
𝑖
(𝑥
2
)
φ
*
𝑖
(𝑥
1
)
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑢2-𝑢1
ℏ
𝐸
⎫
⎪
⎭
.
(10.33)
Вспомним теперь, что 𝐸𝑖φ𝑖(𝑥') = 𝐻φ𝑖(𝑥'); если считать, что оператор 𝐻2 действует только на переменные 𝑥2, то можно записать уравнение
-ℏ
∂𝑘(2,1)
∂𝑢2
=
𝐻
2
𝑘(2,1)
(10.34)
или, в несколько иной форме,
-
∂ρ(2,1)
∂β
=
𝐻
2
ρ(2,1)
.
(10.35)
Заметим, что это дифференциальное уравнение для ρ аналогично уравнению Шрёдингера для ядра 𝐾, полученному в гл. 4 [соотношение (4.25)]. Можно переписать его в виде
-
ℏ
𝑖
∂𝐾(2,1)
∂𝑡2
=
𝐻
2
𝐾(2,1)
для
𝑡
2
>𝑡
1
.
(10.36)
В гл. 4 мы установили, что ядро 𝐾(2,1) представляет собой функцию Грина для уравнения (10.36); в том же самом смысле матрица плотности ρ(2,1) является функцией Грина для уравнения (10.35).
В случае простых гамильтонианов, зависящих только от импульсов и координат, мы смогли записать ядро в виде интеграла по траекториям. Например, гамильтониану
𝐻
=-
ℏ²
2𝑚
𝑑²
𝑑𝑥²
+
𝑉(𝑥)
(10.37)
соответствует решение для ядра, отвечающего очень короткому промежутку времени 𝑡2-𝑡1=ε:
𝐾(2,1)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏε
⎫½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ
(𝑥2-𝑥1)²
ε
-
𝑖
ℏ
ε𝑉
⎧
⎪
⎩
𝑥2-𝑥1
2
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
,
(10.38)
что можно проверить прямой подстановкой в уравнение (10.36). Если мы возьмём произведение большого числа записанных в таком виде ядер и перейдём к пределу, одновременно устремляя ε к нулю и неограниченно увеличивая число сомножителей, то в итоге получим интеграл по траекториям, определяющий ядро для некоторого конечного промежутка времени. Решение уравнения (10.34) можно построить тем же самым способом. Для бесконечно малого интервала 𝑢2-𝑢1=η оно получается заменой ε=-𝑖η в выражении (10.38). Таким образом,
𝐾
(𝑥
2
,η;𝑥
1
,0)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πηℏ
⎫½
⎪
⎭
×
×
exp
⎧
⎨
⎩
-
(𝑚/2η)(𝑥2-𝑥1)²+η𝑉[(𝑥2-𝑥1)/2]
ℏ
⎫
⎬
⎭
.
В том, что это выражение действительно является решением уравнения (10.34), можно убедиться непосредственной подстановкой.
Функции, определённые для последовательных значений 𝑢, строятся по тому же правилу, что и ядра для последовательных интервалов времени, т.е.
𝑘(2,1)
=
∫
𝑘(3,2)
𝑘(3,1)
𝑑𝑥
3
.
(10.40)
Справедливость последнего следует из того факта, что выражение (10.33) представляет собой первую производную по 𝑢. Этим правилом можно воспользоваться, чтобы получить интеграл по траекториям, определяющий 𝑘(2,1):
𝑘(𝑥
2
,𝑢
2
;𝑥
1
,𝑢
1
)
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
-
𝑁-1
∑
𝑖=0
⎡
⎢
⎣
𝑚
2ℏη
(𝑥
𝑖+1
-𝑥
𝑖
)
2
𝑁-1
+
+
η
ℏ
𝑉(𝑥
𝑖
)
⎤
⎥
⎦