ρ(𝑥
1
,𝑥
1
)
=
𝑒
-β𝑉(𝑥1)
𝑥1
∫
𝑥1
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
𝑥̇²(𝑢)
𝑑𝑢
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑢)
.
(10.45)
В этом последнем выражении фигурирует такой же интеграл по траекториям, как и в случае свободной частицы. Его можно вычислить тем же способом, каким в гл. 3 вычисляли ядро для движения свободной частицы. В результате получим
𝑥2
∫
𝑥1
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
𝑥̇²(𝑢)
𝑑𝑢
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑢)
=
=
⎧
⎪
⎩
𝑚𝓀𝑇
2πℏ²
⎫½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚𝓀𝑇(𝑥2-𝑥1)²
2ℏ²
⎤
⎥
⎦
.
(10.46)
Если нас интересует только функция распределения, то можно положить 𝑥2=𝑥1; тогда
ρ(𝑥
1
,𝑥
1
)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚𝓀𝑇
2πℏ²
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-β𝑉(𝑥1)
.
(10.47)
Функция распределения представляет собой интеграл от этого выражения по всем начальным конфигурациям 𝑥1 т.е.
𝑍
=
⎧
⎪
⎩
𝑚𝓀𝑇
2πℏ²
⎫½
⎪
⎭
∫
𝑒
-β𝑉(𝑥1)
𝑑𝑥
1
.
(10.48)
Эта формула определяет искомое распределение в классическом приближении. С точностью до неопределённого множителя её впервые получил Больцман как следствие классической механики. В более сложных случаях (например, при большем числе переменных) функция распределения оказывается произведением двух сомножителей. Первый из них — интеграл по траекториям, который получился бы, если бы все частицы оказались свободными; второй называется конфигурационным интегралом и содержит 𝑒-β𝑉, где 𝑉 — потенциал системы, зависящий от всех 𝑁 описывающих систему переменных. Например, в случае системы 𝑁 частиц, взаимодействие которых определяется потенциалом 𝑉(𝐱1,𝐱2,…,𝐱𝑁), где 𝐱𝑎 — вектор положения частицы 𝑎, этот интеграл имеет вид
∫
{exp[
-β
𝑉(𝐱
1
,𝐱
2
,…,𝐱
𝑁
)
}]
𝑑³𝐱
1
𝑑³𝐱
2
…
𝑑³𝐱
𝑁
.
Такое простое выражение для функции распределения является лишь приближением, справедливым в случае, если за «время» βℏ частицы системы не могут значительно удалиться от своих первоначальных положений. Предельное удаление частиц, на котором это приближение теряет силу, можно оценить из равенства (10.46). Легко видеть, что если конечная координата отличается от начальной на величину порядка
Δ𝑥
=
ℏ
√𝑚𝓀𝑇
(10.49)
то экспонента в (10.46) быстро убывает. Отсюда можно заключить, что все промежуточные точки, расстояние которых от начальной или конечной превышает Δ𝑥, окажутся на траекториях, не дающих заметного вклада в интеграл (10.43). Если при перемещении точки 𝑥 на отрезок Δ𝑥 потенциал 𝑉(𝑥) изменяется слабо, то справедлива классическая статистическая механика.