Задача 10.2. Вычислите интеграл (10.55), воспользовавшись методами гл. 3 и, в частности, соотношением (3.66). Напомним, что все траектории в этой задаче имеют одинаковые начальные и конечные точки и для завершения вычисления интеграла необходимо проинтегрировать по всем этим точкам, а затем по всем значениям 𝑘, после чего решение с точностью до первого порядка по 𝑉'' имеет вид
const
⎡
⎢
⎣
1-
β²ℏ²
24𝑚
𝑉''
(
𝑥
)
⎤
⎥
⎦
.
(10.56)
Функцию распределения, которая соответствует решению задачи 10.2, лучше всего записать так (тоже с точностью до членов первого порядка по 𝑉''):
𝑍
=
⎧
⎪
⎩
𝑚𝓀𝑇
2πℏ²
⎫½
⎪
⎭
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
-β
⎡
⎢
⎣
𝑉(
𝑥
)
+
βℏ²
24𝑚
𝑉''(
𝑥
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝑑
𝑥
.
(10.57)
Неизвестная константа определяется здесь простым сравнением с результатом классического рассмотрения (10.48). Мы видим, что функция распределения имеет тот же самый вид, что и функция, вычисленная в чисто классических предположениях. Разница состоит лишь в том, что теперь к потенциалу добавлена поправка (βℏ²/24𝑚)𝑉''(𝑥), которая по своей природе является, очевидно, квантовомеханической, как это можно понять из появления в ней постоянной Планка ℏ.
Задача 10.3. Покажите, что поправка к потенциалу в случае трёхмерного движения нескольких частиц (которые мы будем различать по индексам; 𝑚𝑖 — масса 𝑖-й частицы) равна
βℏ²
24𝑚
∑
𝑖
1
𝑚𝑖
∇
2
𝑖
𝑉.
(10.58)
На практике результаты этого вычисления оказываются не очень полезными. В большинстве задач (например, при рассмотрении газа сталкивающихся молекул) потенциал растёт довольно быстро, так что на малых расстояниях происходит сильное отталкивание и вторая производная очень велика. В тех случаях, когда это не так, полученная формула может оказаться полезной. Её преимущество состоит в том, что она допускает обобщение на члены более высокой степени точности.
Задача 10.4. Покажите, что поправка к функции распределения, учитывающая четвёртую степень ℏ, содержит множитель
⎧
⎨
⎩
1-
β²ℏ²
24𝑚
𝑉''
(
𝑥
)
+
7β4ℏ4
8×720𝑚²
[𝑉''(
𝑥
)]²
-
β³ℏ³
24×48𝑚²
𝑉''''
(
𝑥
)
+
…
⎫
⎬
⎭
.
Мы уже видели, что для описания квантовомеханических аффектов можно вычислить функцию распределения по классической формуле (10.48), подставив вместо истинного потенциала 𝑉(𝑥) модифицированное выражение 𝑉+(βℏ²/24𝑚)𝑉''. Это обстоятельство наводит на мысль попытаться пойти дальше и отыскать некоторый эффективный потенциал 𝑈(𝑥), после подстановки которого вместо потенциала 𝑉 классическое выражение (10.48) стало бы ещё более точным приближением к истинной квантовомеханической функции распределения. Будем исходить из точного выражения
𝑍
=
∫
{
exp[-β𝑉(
𝑥
)]
𝑑
𝑥
}
∫
exp
⎧
⎪
⎩
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
𝑥̇²
𝑑𝑢
-
-
1
ℏ
βℏ
∫
0
{
𝑉[𝑥(𝑢)]
-
𝑉[
𝑥
]
𝑑𝑢
}
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑥(𝑢)
.
(10.59)
и рассмотрим интеграл по тракториям как среднее по траекториям 𝑥(𝑢) от функции 𝑒𝑓, где
𝑓
=-
βℏ
∫
0
{