0,00000
0,6931
0,6931
§ 4 Системы с несколькими переменными
Если система зависит от нескольких переменных, то (за исключением специальных задач, связанных с рассмотрением свойств симметрии) формулы, описывающие её поведение, получаются прямым обобщением уже изученных нами методов.
Жидкий гелий. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания функции распределения в случае жидкого гелия. Предположим, что мы имеем 𝑁 одинаковых атомов массы 𝑚, заключённых в некоторый объём. Предположим далее, что эти атомы взаимодействуют попарно; потенциал этого взаимодействия 𝑉(𝑟1,2) на больших расстояниях соответствует слабому притяжению, а на малых— очень сильному отталкиванию. Для наглядности можно представлять себе 𝑉(𝑟) как потенциал, описывающий столкновение твёрдых шариков, т.е. положить
𝑉(𝑟)
=
⎧
⎨
⎩
0 при 𝑟>2,7Å,
∞ при 𝑟<2,7Å.
(10.72)
Лагранжиан такой системы имеет вид
𝐿
=
∑
𝑖
1
2
𝑚
|𝐑̇|²
-
1
2
∑
𝑖,𝑗
𝑉(𝑟
𝑖,𝑗
)
,
(10.73)
откуда следует, что функция распределения
𝑍
=
∫
𝑑
𝑁
𝐑(0)
∫
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
⎧
⎨
⎩
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
|𝐑̇(𝑡)|²
𝑑𝑡
+
+
1
2ℏ
∑
𝑖,𝑗
βℏ
∫
0
𝑉[𝐑
𝑖
(𝑡)-𝐑
𝑗
(𝑡)]
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟
𝑁
𝐑(𝑡)
.
(10.74)
В этом выражении символ 𝑑𝑁𝐑 означает произведение 𝑑³𝐑1𝑑³𝐑2𝑑³𝐑3 … 𝑑³𝐑𝑁, аналогично 𝒟𝑁𝐑 — произведению 𝒟𝐑1𝒟𝐑2𝒟𝐑3 … 𝒟𝐑𝑁. Мы предполагаем, что все интегралы по тракториям берутся между совпадающими начальными и конечными точками 𝐑𝑖(0) и 𝐑𝑖(β), т.е. 𝐑𝑖(0)=𝐑𝑖(β).
На самом деле записанное нами выражение (10.74) неправильно, так как свойства симметрии, упомянутые выше, имеют существенное значение. Здесь мы столкнулись с одной из интересных особенностей квантовой механики тождественных частиц. В гл. 1 упоминалось, что если событие протекает двумя неразличимыми способами, то амплитуды вероятности этих двух возможностей будут складываться. В частности, когда мы имеем дело с двумя неразличимыми частицами, любое событие всегда можно осуществить двумя способами, поменяв эти частицы ролями. При этом амплитуды, соответствующие случаю переставленных и случаю не переставленных частиц, должны складываться. Это правило относится к бозонам; в случае фермионов вклады в амплитуду, возникающие при нечётных перестановках, будут взаимно уничтожаться. Атомы обычного гелия, представляющего собой изотоп с массовым числом 4, содержат шесть частиц: два протона, два нейтрона и два электрона. Это означает, что атомы гелия являются бозонами и при перестановке частиц амплитуды должны складываться. Принято говорить, что бозоны подчиняются симметричной статистике, а фермионы — антисимметричной.
Для того чтобы увидеть, как происходит это сложение амплитуд, по крайней мере в случае атомов гелия, можно рассуждать следующим образом. В конечном состоянии атомы неотличимы друг от друга, поэтому, если даже конечная конфигурация совпадает с начальной, некоторые атомы могли поменяться местами.
Пусть, например, какой-то атом, который мы обозначим индексом 1, имеет в начальный момент положение 𝑥1(0). Мы уже предположили, что в конце это же положение займёт по крайней мере один атом. Таким образом, для некоторого атома значение 𝑥1(β) равно 𝑥1(0). Конечно, закончить своё движение в этой точке может и не сам атом 1. Вместо этого он мог бы занять начальное положение атома 2, т.е. 𝑥2(0), тогда как в то же самое время атом 2 занял бы исходное положение атома 1; другими словами, атомы 1 и 2 в конечной конфигурации могут поменяться местами по сравнению с начальной.