Чтобы описать это наиболее общим образом, обозначим через 𝑃𝑥𝑖 некоторую перестановку атомов, первоначально находившихся в точках 𝑥𝑖. Тогда в упомянутом случае перестановки атомов 1 и 2 (все другие атомы остались на своих местах) можно записать
𝑃𝑥
1
=𝑥
2
,
𝑃𝑥
2
=𝑥
1
,
𝑃𝑥
3
=𝑥
3
,
…,
𝑃𝑥
𝑁
=𝑥
𝑁
,
… .
(10.75)
Вообще говоря, расположение частиц в конечном состоянии может быть произвольной перестановкой их начальных состояний:
𝑥
𝑗
(β)
=
𝑃𝑥
𝑗
(0)
.
(10.76)
Поэтому для построения полной амплитуды мы должны просуммировать по всем 𝑁! возможным перестановкам, поскольку каждая из них является альтернативной возможностью. Если затем проделать усреднение по всем перестановкам, то получится правильная нормировка. Отсюда видно, что в случае симметричной статистики выражение (10.74) следует заменить выражением
𝑍
=
1
𝑁!
∑'
𝑃
𝑑
𝑁
𝐑(0)
𝑃𝐑𝑖(0)
∫
𝐑𝑖(0)
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
1
2ℏ
⎧
⎨
⎩
𝑚
∑
𝑖
βℏ
∫
0
|𝐑̇(𝑡)|²
𝑑𝑡
+
+
∑
𝑖,𝑗
βℏ
∫
0
𝑉[𝐑
𝑖
(𝑡)-𝐑
𝑗
(𝑡)]
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟
𝑁
𝐑(𝑡)
,
(10.77)
где символ
∑'
𝑃
означает суммирование по всем перестановкам 𝑃.
Если бы мы имели дело с фермионами (например, с изотопом гелия, содержащим три нуклона в ядре), мы должны были бы ввести дополнительный множитель ±1, положительный для чётных перестановок и отрицательный для нечётных. В окончательном варианте 𝑍' имелись бы также некоторые дополнения, зависящие от спина атома.
Более детальный вывод выражения (10.77) можно сделать следующим образом. В случае атомов Не4 квантовомеханическая амплитуда для двух атомов, которые движутся от точек 𝑎 и 𝑏 до точек 𝑐 и 𝑑, будет равна
𝐾(𝑐,𝑎;𝑑,𝑏)
+
𝐾(𝑑,𝑎;𝑐,𝑏)
(10.78)
(амплитуды для альтернативных конечных состояний суммируются в силу неразличимости этих состояний). В этом выражении 𝐾(𝑐,𝑎;𝑑,𝑏) — комплексная амплитуда перехода частицы из точки 𝑎 в точку 𝑐, в то время как вторая частица переходит из 𝑏 в 𝑑.
Поскольку частицы неразличимы, то из свойств симметрии следует, что амплитуда вероятности обнаружить в конечном итоге эти частицы в точках 𝑐 и 𝑑 должна быть симметричной функцией. Следовательно, волновая функция ψ(𝑐,𝑑) должна быть симметричной функцией переменных 𝑟𝑐 и 𝑟𝑑, т.е.
ψ(𝑐,𝑑)
=
ψ(𝑑,𝑐)
.
(10.79)
Если бы частицы были фермионами, волновая функция оказалась бы антисимметричной функцией их положений.
Это правило легко обобщается на случай многих частиц:
ψ(1,2,3,…,𝑁)
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ψ(1,2,3,…,𝑁),
ψ(1,2,3,…,𝑁),
… … … .
(10.80)
Простейшее следствие этого общего правила состоит в том, что волновая функция обязана быть симметричной или антисимметричной. Несмотря на то что в общем случае существуют и другие решения уравнения Шрёдингера, в природе реализуются только симметричные и антисимметричные. Поэтому в выражении для функции распределения (10.2) мы должны суммировать не по всем значениям гамильтониана 𝐻, которые можно получить при решении уравнения 𝐻φ𝑛=𝐸𝑛φ𝑛, а только по тем из них, волновая функция которых симметрична. Например, если не учитывать статистику 𝑁 атомов, то матрица плотности ρ(𝑥',𝑥) определяется выражением (10.28). Каким образом следует видоизменить сумму в этом выражении, чтобы в неё входили только лишь симметричные функции?