Для этого применим следующий искусственный приём. Заметим сначала, что из любой функции можно получить симметричную, поменяв местами переменные и сложив полученную новую функцию с исходной; независимо от вида 𝑓(𝑥1,𝑥2) комбинация 𝑓(𝑥1,𝑥2) + 𝑓(𝑥2,𝑥1) является симметричной функцией. Следовательно, для любой волновой функции φ(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑁) комбинация
φ'(𝑥
𝑖
)
=
∑
𝑃
φ(𝑃𝑥
𝑖
)
(10.81)
будет симметричной. Теперь заметим, что если φ𝑛(𝑥𝑖) является решением уравнения Шрёдингера, то φ'𝑛(𝑥𝑖), определённая выражением (10.81), также будет его решением, поскольку гамильтониан 𝐻 симметричен относительно перестановки координат. Поэтому всякая функция φ𝑛(𝑃𝑥) с переставленными координатами, равно как и сумма этих функций, будет решением уравнения Шрёдингера.
Для некоторых собственных значений энергии 𝐸𝑛 существуют симметричные собственные функции φ𝑛, а для некоторых—нет. Предположим, что 𝐸𝑘 — какое-то собственное значение энергии, для которого уравнение Шрёдингера не имеет симметричного решения. В этом случае сумма
∑
𝑃
φ
𝑘
(𝑃𝑥)
Должна обратиться в нуль, поскольку иначе она являлась бы симметричным решением, соответствующим значению 𝐸𝑘. Этот результат означает, что операция, определённая выражением (10.81), отбирает только те решения волновых уравнений, которые являются симметричными, а все другие решения отбрасываются. Если φ𝑛(𝑥) — симметричная функция, то она равна φ𝑛(𝑃𝑥) поскольку существует 𝑁! способов перестановки 𝑁 атомов, мы имеем
∑
𝑃
φ
𝑛
(𝑃𝑥
𝑖
)
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑁!φ
𝑛
(𝑥
𝑖
),
если φ
𝑛
симметрична,
0,
если φ
𝑛
имеет какие-то
другие свойства симметрии.
(10.82)
Этот результат и отвечает на наш вопрос. Теперь из суммы, определяющей матрицу плотности, нужно отобрать только те члены, которые относятся к симметричным состояниям. Таким образом,
∑
𝑃
ρ(𝑃𝑥',𝑥)
=
все
∑
𝑛
∑
𝑃
φ
𝑛
(𝑃𝑥')
φ
*
𝑛
(𝑥)
𝑒
-β𝐸𝑛
=
=
𝑁!
сим
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥')
φ
𝑛
(𝑥)
𝑒
-β𝐸𝑛
=
𝑁!
ρ(𝑥',𝑥)
.
(10.83)
Именно поэтому мы, определяя функцию распределения в случае симметричной статистики, в выражении (10.77) переставляем частицы и делим результат на 𝑁!. Получаемая при этом функция распределения удовлетворяет соотношениям
∫
ρ(𝑥
0
,𝑥
0
)
𝑑
𝑁
𝑥
0
=
𝑍
сим
=
сим
∑
𝑛
𝑒
-β𝐸𝑛
.
(10.84)
Отметим некоторые характерные особенности соотношения (10.77). Для функции распределения мы должны были бы ожидать при высоких температурах классического решения, в котором отсутствовали бы квантовые эффекты. Пренебрежём на время потенциалом и рассмотрим влияние смещения атома в некоторую точку, отстоящую от исходной на расстояние 𝑑. В интеграле по траекториям (10.77) это соответствует смещению из начальной точки 𝑅𝑖 в положение 𝑃𝑅𝑖, отличающееся перестановкой атомов. Вклад каждой такой перестановки в общую сумму пропорционален exp(-𝑚𝑑²𝓀𝑇/2ℏ²), т.е. уменьшается при увеличении температуры или при увеличении расстояния между атомами. Следовательно, пока атомы не находятся чрезвычайно близко друг к другу, никакие перестановки (даже простейший обмен местами между двумя атомами) несущественны по сравнению с тождественной перестановкой, которая оставляет все атомы на их прежних местах. Если же теперь учесть эффекты, связанные с потенциалом, который в жидком гелии резко возрастает на расстоянии 2,7 Å от центра атома, то несущественными оказываются все конфигурации, в которых межатомное расстояние меньше этой величины.