Поскольку при суммировании существенный вклад даёт лишь тождественная перестановка, нам остаётся для рассмотрения только множитель 1/𝑁!. Уже на раннем этапе классической термодинамики физики отдавали себе отчёт в том, что такой множитель удобен, когда частицы одинаковы, однако его смысл оставался неясным. Когда изучаются системы с несколькими различными сортами атомов, влияние этого множителя на величину химического потенциала называется энтропией смешения.
По мере падения температуры экспоненциальный множитель exp(-𝑚𝑑²𝓀𝑇/2ℏ²), препятствующий переходам в новые конечные положения, становится все меньше и меньше. Это означает, что при чрезвычайно низких температурах в суммировании по перестановкам станут существенными новые члены. В этом случае должны быть, конечно, учтены квантовые эффекты; мы видели, что в первом приближении это можно сделать заменой потенциала 𝑉 на эффективный потенциал 𝑈. С падением температуры начиная примерно с 2,4—2,3°𝐾, теплоёмкость жидкого гелия начинает медленно возрастать.
Задача 10.8. Плотность жидкого гелия равна 0,17 г/см³. Оцените по порядку величины температуру, начиная с которой для описания жидкого гелия становятся существенными перестановочные члены.
На первый взгляд представляется неожиданным, что очень сложные перестановки атомов играют существенную роль. Всякий раз, когда какой-нибудь атом перемещается на соседний участок, возникает экспоненциальный множитель, содержащий соответствующее расстояние. Обозначим этот множитель через 𝑦; тогда в случае перехода на соседние участки 𝑟 атомов необходимо учитывать множитель 𝑦𝑟, а поскольку 𝑦 при любой температуре наверняка меньше единицы, то 𝑦𝑟 в случае больших 𝑟 может стать весьма малым. Казалось бы, что если г составляет заметную долю от полного числа атомов (в кубическом сантиметре жидкого гелия содержится 1022 атомов), то вклад от множителей вида 𝑦𝑟 должен быть исчезающе малым. Однако это первое впечатление не учитывает того обстоятельства, что при этом возникает огромное число (𝑟!) возможных перестановок. Поэтому малость влияния отдельной перестановки компенсируется их количеством.
Другой вопрос, возникающий при описании жидкого гелия, касается типа перестановок, которые следует учитывать. Любую перестановку можно описать посредством цикла; так, перестановки 1—4, 4—7, 7—6, 6—1 образуют цикл. Вопрос состоит в следующем: длинные или короткие циклы являются существенными? Внимательное исследование показывает, что при умеренных температурах важны только простые перестановки двух атомов. С падением температуры становятся существенными циклы из трёх атомов, потом из четырёх и т.д.; но внезапно при некоторой критической температуре циклы с длиной, превышающей 𝐿, благодаря своему громадному числу компенсируют убывание величины 𝑦𝐿. При этой температуре становятся важными очень длинные циклы, в которых участвуют почти все находящиеся в сосуде атомы. В этой точке кривая зависимости теплоёмкости от температуры терпит разрыв, и при более низких температурах жидкий гелий ведёт себя весьма удивительно: он без всякого сопротивления протекает сквозь очень тонкие трубки. Благодаря этому возникает бесконечно большая теплопроводность конечного объёма жидкости и т.д. Эти удивительные свойства представляют собой проявления квантовомеханических эффектов, в частности интерференции амплитуд при замене одного атома другим, приводящей к увеличению суммарной амплитуды. Детали поведения теплоёмкости в области температуры перехода не слишком надёжны в смысле количественного описания, но качественно причина такого перехода ясна *).
*) Более подробное обсуждение функции распределения для жидкого гелия можно найти в статье Фейнмана IPhys. Rev., 91, 1291 (1953)]. (Квантовая теория сверхтекучести была в 1947 г. разработана Н. Н.Боголюбовым [см. Вестник МГУ, 7, 43 (1947), а также монографию: Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков, Новый метод в теории сверхпроводимости, АН СССР, 1958].— Прим, ред.)