𝑑
𝑑𝑡
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
-
∂𝐿
∂𝑥
=0.
(2.7)
Это и есть классическое уравнение движения в лагранжевой форме.
В классической механике важен вид интеграла 𝑆=∫𝐿𝑑𝑡, а не его экстремальное значение 𝑆кл. Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие 𝑆 для всего семейства близколежащих траекторий.
В квантовой механике важны как сам вид интеграла 𝑆, так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение 𝑆 для нескольких случаев.
Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,
𝑆
кл
=
𝑚
2
(𝑥𝑏-𝑥𝑎)²
𝑡𝑏-𝑡𝑎
(2.8)
Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора 𝐿=(𝑚/2)(𝑥̇²-ω𝑥²). Покажите, что классическое действие
𝑆
кл
=
𝑚ω
2sin ω𝑇
⎡
⎢
⎣
(𝑥
2
𝑎
+𝑥
2
𝑏
) cos ω𝑇-2𝑥
𝑎
𝑥
𝑏
⎤
⎥
⎦
(2.9)
где 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎.
Задача 2.3. Вычислите 𝑆кл для частицы, на которую действует постоянная сила 𝐹, т.е. когда лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2-𝐿𝑥.
Задача 2.4. В классической механике импульс
𝑝=
∂𝐿
∂𝑥̇
.
(2.10)
Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
𝑥=𝑥𝑎
=
∂𝑆кл
∂𝑥𝑎
.
(2.11)
Замечание. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках.
Задача 2.5. Энергия в классической механике определяется выражением
𝐸=𝐿-𝑥̇𝑝.
(2.12)
Покажите, что в конечной точке траектории энергия равна
𝐸(𝑥
𝑏
)-𝑥̇
𝑏
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
𝑥=𝑥𝑏
=
∂𝑆кл
∂𝑡𝑏
.
(2.13)
Замечание. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими.
§ 2. Квантовомеханическая амплитуда вероятности
Теперь мы можем сформулировать квантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности. Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию 𝑆 для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия ℏ. Таким образом, подводим итог: вероятность 𝑃(𝑏,𝑎) перехода частицы из точки 𝑥𝑎, где она находилась в момент времени 𝑡𝑎, в точку 𝑥𝑏, соответствующую моменту времени 𝑡𝑏, равна квадрату модуля амплитуды перехода 𝑃(𝑏,𝑎)=|𝐾(𝑏,𝑎)|². Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов φ[𝑥(𝑡)] от каждой траектории в отдельности, т.е.
𝐾(𝑏,𝑎)=
∑
φ[𝑥(𝑡)]
по всем
возможным
переходам
из 𝑎 в 𝑏
(2.14)
где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки 𝑎 и 𝑏. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию 𝑆:
φ[𝑥(𝑡)]=const⋅𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
(2.15)
Действие 𝑆 здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выражение (2.1)]. Константу можно, выбрать из соображений удобства нормировки величины 𝐾; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, что понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2.14).