⎩
2 sh
ℏω
2𝓀𝑇
⎫
⎪
⎭
Поэтому свободная энергия всей системы запишется в виде
𝐹
=
𝓀𝑇
∑
𝑖
ln
⎧
⎪
⎩
2 sh
ℏω𝑖
2𝓀𝑇
⎫
⎪
⎭
=
𝓀𝑇
∑
𝑖
ln
(1-𝑒
ℏω𝑖/𝓀𝑇
)
+
∑
𝑖
ℏω𝑖
2
.
(10.85)
Последний член в этом выражении представляет собой энергию основного состояния системы.
В случае электромагнитного поля, заключённого в объёме 𝑉, число мод равно удвоенному количеству значений волнового вектора 𝐊; нулевая энергия при этом не учитывается. Следовательно, свободная энергия электромагнитного поля, отнесённая к единице объёма, равна
𝐹
=
𝓀𝑇
∫
𝑑³𝐊
(2π)³
2 ln
(1-𝑒
-ℏ𝐾𝑐/𝓀𝑇
)
.
(10.86)
Внутренняя энергия 𝑈 представляет собой частную производную от β𝐹 по β, и после подстановки ω=𝐾𝑐 принимает вид
𝑈
=
2
∫
𝑑³𝐊
(2π)³
ℏω
1
𝑒ℏω/𝓀𝑇-1
.
(10.87)
Элемент объёма в импульсном пространстве можно записать так:
𝑑³𝐊
=
4π𝐾
𝑑𝐾
=
4π
ω²
𝑐³
𝑑ω
.
(10.88)
Поэтому энергия электромагнитного поля, заключённая в области частот от ω до ω+𝑑ω, равна
2⋅4π
(2π𝑐)³
ℏω
𝑒ℏω/𝓀𝑇-1
.
(10.89)
Это и есть хорошо известный закон излучения абсолютно чёрного тела, открытый Планком. Он явился первым количественным результатом квантовой механики, который описывал наблюдаемое явление, и был первым шагом к открытию новых законов природы.
Другим триумфом на заре квантовой механики было объяснение Эйнштейном и Дебаем температурной зависимости теплоёмкости твёрдых тел. Эта зависимость тоже вытекает из соотношения (10.85), с той лишь разницей, что осцилляторами теперь должны быть нормальные моды кристалла, описанные в гл. 8. Подобно выражению (10.87), тепловая энергия в единице объёма такого кристалла (без учёта нулевой энергии) будет равна
𝑈
=
∑
3𝑝 мод
∫
ℏω(𝐤)
exp[ℏω(𝐤)/𝓀𝑇]
𝑑³𝐤
(2π)³
,
(10.90)
где ω(𝐤) — частота фонона с волновым вектором 𝐤. Во всяком кристалле 𝑈 будет многозначной функцией (если в единичном объёме находится 𝑝 атомов, то существует 3𝑝ω значений для каждого 𝐤), и мы должны просуммировать по всем возможным ω. Интегрирование по 𝐤 распространяется только на конечную область, соответствующую данному кристаллу. Для фотонов каждому 𝐤 соответствуют две моды с одинаковыми частотами ω=𝑘𝑐, так что в сумме появляется множитель 2, и мы приходим к равенству (10.87), причём область интегрирования по 𝐤 становится теперь бесконечной.
Следствия из выражения (10.90), изученные в различных приближениях Эйнштейном и Дебаем, хорошо объяснили основные особенности температурной зависимости теплоёмкости и, в частности, её поведение при низких температурах, которое находилось в прямом противоречии с предсказаниями классической физики. Сегодня, подставив в выражение (10.90) более точный фононный спектр ω(𝐤), мы имеем вполне удовлетворительное описание той части теплоёмкости твёрдых тел, которая обязана колебаниям атомов.
§ 5. О формулировке основных законов теории
Все предыдущее изложение статистической механики оставляет желать много лучшего. Основной принцип, утверждающий, что вероятность найти систему в состоянии с энергией 𝐸 пропорциональна 𝑒-𝐸/𝓀𝑇, обычно выводят из рассмотрения взаимодействия сложных систем в течение длительных промежутков времени. Однако при этом возникает связанный с нашим подходом один интересный вопрос.
Обсуждение физики в этой книге мы начали с формулировки законов квантовой механики, применяя для этого метод интегрирования по траекториям (см. гл. 2). Проследим теперь, к чему приведёт точка зрения, согласно которой такая формулировка как раз и является фундаментальной. В этом случае оказывается, что статистические свойства системы, квантовое поведение которой описано интегралом по траекториям, выражаются функцией распределения 𝑍. В свою очередь эта функция также может быть выражена в виде некоторого интеграла по траекториям, очень схожего и тесно связанного с квантовомеханическим интегралом; подобная вещь проделана в соотношении (10.77). Однако для этого не требуется ни понятия волновой функции, ни существования стационарных состояний, ни вышеупомянутой гипотезы о длительном взаимодействии,— ничего из того, что было необходимо для вывода функции распределения в виде (10.1), зависящем от энергии уровней 𝐸𝑖. В заключение вернёмся к формулировке 𝑍 с использованием исходного интеграла по траекториям. Существует ли какая-нибудь возможность получить для любой равновесной системы выражение 𝑍 прямо через интеграл по траекториям, описывая таким путём изменение её состояний во времени? Если да, то мы ещё це знаем, как это сделать.