𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡+𝑎)
+
𝑘
2
𝑡+𝑎
∫
𝑡
𝑥(𝑡'-𝑎)
𝑥̇(𝑡')
𝑑𝑡'
(10.93)
является энергией для уравнения движения (10.92) и представляет собой сохраняющуюся величину.
Вообще для любого функционала действия 𝑆, не содержащего времени явным образом (т.е. инвариантный относительно преобразования 𝑡→𝑡+const) существует выражение для энергии 𝐸(𝑇) в момент 𝑇, которая будет сохраняющейся величиной. Это выражение можно найти, отыскивая в первом приближении изменение действия 𝑆 при замене всех траекторий 𝑥(𝑡) на 𝑥[𝑡+η(𝑡)], где η(𝑡)=+ε/2 для 𝑡>𝑇 и η(𝑡)=-ε/2 для 𝑡<𝑇 при постоянном ε. В случае бесконечно малого ε δ𝑆 равно ε𝐸(𝑇).
Задача 10.10. Рассмотрите, каким образом можно выразить через интегралы по тракториям статистико-механическое описание частицы, которая находится в магнитном ноле, постоянном во времени.
Глава 11
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД
В этой главе мы обсудим метод приближённого вычисления интегралов по траекториям, основанный на вариационном принципе. Сначала проиллюстрируем этот метод некоторыми примерами, а потом рассмотрим задачи, в которых он может оказаться полезным.
§ 1. Принцип минимума
Предположим, что мы хотим вычислить свободную энергию системы 𝐹. Эта задача может быть сформулирована на языке интегралов по траекториям с помощью функции распределения [см. выражение (10.4)]
𝑍
=
𝑒
-β𝐹
(11.1)
В соотношении (10.30) функция распределения была представлена как интеграл от матрицы плотности ρ(𝑥,𝑥). Затем в § 2 гл. 10 было получено выражение матрицы ρ(𝑥,𝑥) в виде некоторого ядра. Это позволило нам записать
𝑍
=
∞
∫
-∞
𝑥1
∫
𝑥1
𝑒
𝑆/ℏ
𝒟𝑥(𝑢)
𝑑𝑥
1
,
(11.2)
если переменную «времени» 𝑢 рассматривать как мнимую величину.
В § 3 гл. 10 мы развили формализм теории возмущений для вычисления интегралов по траекториям, определяющих функцию распределения в некоторых частных случаях. Теперь опишем другой метод, применимый в тех случаях, когда действие 𝑆 является действительной величиной, как это имеет место, например, в обычных задачах без магнитного поля (и без учёта спина).
Всюду в этой главе мы будем предполагать, что при нашем выборе единиц ℏ=1. Если возникнет необходимость ввести ℏ для того, чтобы подчеркнуть квантовомеханический характер результата, это можно сделать непосредственным анализом размерности.
Пусть нам известно, что некоторая функция 𝑆' удовлетворяет двум условиям: во-первых, 𝑆' — достаточно простое выражение, так что для простых функционалов 𝐺 можно вычислить интегралы вида ∫𝑒𝑆'𝒟𝑥(𝑡) или ∫𝐺𝑒𝑆'𝒟𝑥(𝑡); во-вторых, траектории, дающие существенный вклад в интегралы ∫𝑒𝑆𝒟𝑥(𝑡) и ∫𝑒𝑆'𝒟𝑥(𝑡), одинаковы, т.е. величины 𝑆' и 𝑆 близки в случае, когда они обе малы. Предположим далее, что 𝐹' — свободная энергия, соответствующая действию 𝑆'. Это означает, что
𝑒
-β𝐹'
=
∞
∫
-∞
𝑥1
∫
𝑥1
𝑒
𝑆'
𝒟𝑥(𝑢)
𝑑𝑥
1
,
(11.3)
и поэтому
∫∫𝑒𝑆𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥1
∫∫𝑒𝑆'𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥1
=
𝑒
-β(𝐹-𝐹')
.
(11.4)
Так как 𝑒𝑆=𝑒𝑆-𝑆'𝑒𝑆', то соотношение (11.4) можно записать в виде
∬
𝑒
𝑆-𝑆'
𝑒
𝑆'
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
⎡
⎢
⎣
∬
𝑒
𝑆'
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
⎤-1
⎥
⎦
=
𝑒
-β(𝐹-𝐹')
.
(11.5)
Это выражение утверждает, что экспонента exp[-β(𝐹-𝐹')] представляет собой среднее значение от величины exp(𝑆-𝑆'); усреднение производится по всем траекториям, совпадающим в начальной и конечной точках, с весом 𝑒𝑆'𝒟𝑥(𝑡) для каждой траектории. При усреднении учитываются все возможные значения 𝑥1.