Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию 𝑊(𝑥), где 𝑥 среднее положение траектории, определяемое выражением
𝑥
=
1
β
β
∫
0
𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
.
(11.18)
Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид
𝑆'
=
-
β
∫
0
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
-
β𝑊(
𝑥
)
.
(11.19)
С помощью этого более общего выражения можно вычислить как 𝐹', так и ⟨𝑆-𝑆'⟩.
Следуя тем же путём, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим
δ=
1
∬
⎡
⎢
⎣ exp
⎧
⎪
⎩ -
β
∫
0
𝑚
2 𝑥̇² 𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦ {exp[ - β𝑊(𝑥) ]} 𝒟𝑥(𝑡) 𝑑𝑥0
×
×
⎧
⎪
⎩
-
∬
⎧
⎨
⎩
1
β
β
∫
0
𝑉[𝑥(𝑡')]
𝑑𝑡'
-
𝑊(
𝑥
)
⎫
⎬
⎭
×
×
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
β
∫
0
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
{exp[
-
β𝑊(
𝑥
)
]}
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
0
⎫
⎪
⎭
.
(11.20)
Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам 𝑥0.
Отметим, что числитель выражения для δ очень похож на выражение для 𝐼(𝑥), введённое в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением 𝑥 и отложить интегрирование по всем возможным значениям 𝑥 на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины 𝐼(𝑥), мы видим, что числитель в δ не зависит от 𝑡'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что
𝑌
=
𝑥
0
-
𝑥
.
(11.21)
Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то
δ
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
[
𝑉(𝑥
0
)
-
𝑊(
𝑥
)
]
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
6𝑚
β
(𝑥
0
-
𝑥
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
{exp[
-
β𝑊(
𝑥
)
]}
𝑑𝑥
0
𝑑
𝑥
×
⎧
⎪
⎩
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
6𝑚
β
(𝑥
0
-
𝑥
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
{exp[
-
β𝑊(
𝑥
)
]}
𝑑𝑥
0
𝑑
𝑥
⎫-1
⎪
⎭
.
(11.22)
Интеграл по 𝑥0 в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и даёт (βπ/6𝑚)½. Кроме того, интеграл в числителе, содержащий 𝑊(𝑥), даёт в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию
𝑉(𝑥)
=