∫
𝑒
𝑆'
𝒟𝑥(𝑡)
⎤-1
⎥
⎦
.
(11.39)
Если бы нам было нужно определить среднее значение любой функции, которая зависит от траектории 𝑥(𝑡) таким же образом, как и в данном случае усреднения, то мы обнаружили бы, что это среднее значение слабо зависит от 𝑡, пока 𝑡 не очень близко к нулю или к β. Поэтому с достаточной точностью можно написать
δ=-
∫
𝑒
𝑆'
{
𝑉[𝑥(𝑡)]
-
𝑉'[𝑥(𝑡)]
}
𝒟𝑥(𝑡)
⎡
⎢
⎣
∫
𝑒
𝑆'
𝒟𝑥(𝑡)
⎤-1
⎥
⎦
=
=
⟨
𝑉[𝑥(𝑡)]
-
𝑉'[𝑥(𝑡)]
⟩
.
(11.40)
Следуя методам, изложенным в гл. 2, можно вычислить этот интеграл по траекториям в предположении, что известны функции φ'𝑛 и значения энергий 𝐸'𝑛, соответствующие 𝑆'. Пусть, например, наша траектория проходит между точками 𝑥1 и 𝑥2 в этом случае
𝑓'[𝑥(𝑡)]
=
∑
𝑛
{exp[-(β-𝑡)𝐸
'
𝑚
]}
×
×
[exp(-𝑡𝐸
'
𝑛
)]
φ
'
𝑛
(𝑥
2
)
φ
'
𝑚
(𝑥
1
)
𝑓
𝑛𝑚
×
×
⎧
⎨
⎩
∑
𝑛
[exp(-β𝐸
'
𝑛
)]
φ
'*
𝑛
(𝑥
2
)
φ
'
𝑛
(𝑥
1
)
⎫-1
⎬
⎭
(11.41)
где
𝑓
𝑛𝑚
=
∫
φ
'*
𝑛
(𝑥)
𝑓(𝑥)
φ
'
𝑚
(𝑥)
𝑑𝑥
.
(11.42)
Если же β стремится к бесконечности и 𝑡 тоже велико (например, 𝑡=β/2), то все экспоненты будут пренебрежимо малы по сравнению с экспонентой, содержащей наименьшее значение энергии 𝐸'0. Таким образом, в пределе
lim
⟨𝑓⟩
=
𝑓
00
β→∞
(11.43)
Этот результат можно записать в виде
δ
=-
∫
φ
'*
0
𝑉(𝑥)
φ
'
0
𝑑𝑥
+
∫
φ
'*
0
𝑉'(𝑥)
φ
'
0
𝑑𝑥
(11.44)
Мы, конечно, должны вычесть эту величину из 𝐸'0. Однако если 𝐻 — гамильтониан, соответствующий действию 𝑆', т.е. если
𝐻'
=
𝑝²
2𝑚
+
𝑉'(𝑥)
,
(11.45)
то
𝐻'
φ
'
0
=
𝐸
'
0
φ
'
0
,
(11.46)
так что
𝐸
'
0
-δ
=
∫
φ
'*
0
𝐻'
φ
'
0
𝑑𝑥
+
∫
φ
'*
0
𝑉
φ
'
0
𝑑𝑥
-
∫
φ
'*
0
𝑉'
φ
'
0
𝑑𝑥
(11.47)
Но точный гамильтониан можно записать в виде
𝐻
=
𝑝²
2𝑚
+
𝑉
=
𝑝²
2𝑚
+
𝑉'
+
𝑉
-
𝑉'
=
𝐻'
+
𝑉
-
𝑉
,
(11.48)
а это означает, что
𝐸
0
≤
∫
φ
'*
0
𝐻'
φ
'
0
𝑑𝑥
,
(11.49)
где φ'0 — нормированная волновая функция, соответствующая низшему энергетическому состоянию системы с гамильтонианом (11.45). Отметим, что оценка наименьшей энергии (11.49) зависит от произвольного потенциала 𝑉'(𝑥) только лишь через волновую функцию φ'0. В силу неопределённости потенциала произвольной является и функция φ'0. Поэтому вместо того, чтобы подбирать потенциал 𝑉', находить по нему соответствующую волновую функцию и потом переходить к вычислению соотношения (11.49), мы могли бы подобрать волновую функцию и потом вычислить правую часть (11.49), совершенно не заботясь о потенциале, которому отвечает эта волновая функция. При таком подходе переменной является скорее волновая функция φ'0, а не потенциал 𝑉'(𝑥). Отсюда видно, что полученный результат — просто другой способ толкования соотношения (11.33).