§ 3. Классический предел
Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остаётся совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие 𝑆 во много раз превосходит постоянную ℏ= 1,05⋅10-27 эрг⋅сек. В этом случае фаза 𝑆/ℏ каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции φ равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину δ𝑥 (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия 𝑆 также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной ℏ. Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что её косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория даёт положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), даёт такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.
Фиг.2.1. Классическая траектория 1 [𝑥=𝑥(𝑡)].
Это такая траектория, для которой интеграл действия 𝑆 принимает минимальное значение. Если эта траектория изменяется на величину δ𝑥(𝑡) (траектория 2), то в первом приближении по δ𝑥 интеграл не претерпевает никаких изменений. Это и определяет уравнение движения.
В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏 равна сумме амплитуд, соответствующих всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности для заданной траектории, т.е. 𝑒𝑖𝑆/ℏ, имеет фазу, пропорциональную действию. Если действие очень велико по сравнению с постоянной Планка ℏ то для близлежащих траекторий, таких, как 3 и 4, оно лишь незначительно отличается по своей величине, однако вследствие малости постоянной ℏ различие в фазах в этих случаях будет очень большим. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаются. Только в непосредственной близости к классической траектории 𝑥(𝑡), где варьирование траекторий лишь незначительно изменяет действие 𝑆, близлежащие траектории, такие, как 1 и 2, дают вклады с одинаковыми фазами, которые вследствие интерференции усиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т.е. необходимость рассмотрения только одной траектории 𝑥(𝑡), справедливо, когда действие 𝑆 очень велико по сравнению с постоянной ℏ.
Поэтому данную траекторию можно фактически не учитывать, если соседние с ней имеют различное действие, поскольку их вклады взаимно уничтожаются. Однако у некоторой траектории 𝑥, для которой действие экстремально, небольшие изменения δ𝑥 (во всяком случае, в первом приближении) не меняют величины 𝑆. Все вклады от траекторий, находящихся в этой области, близки по фазе, которая равна здесь 𝑆кл/ℏ, и взаимно не уничтожаются. Следовательно, существенный вклад мы можем получить лишь в окрестности траектории 𝑥 и в классическом приближении должны рассматривать только эту траекторию как единственно важную. Именно так классические законы движения получаются из квантовых законов.
Можно здесь же отметить, что траектории, которые не совпадают с 𝑥, дают вклад лишь в той области, где действие 𝑆 отличается от 𝑆кл/ℏ на величину порядка ℏ. Классическая траектория в этой небольшой области остаётся неопределённой, что и ограничивает точность, с которой она выделяется.
Рассмотрим теперь зависимость фазы от положения конечной точки (𝑥𝑏,𝑡𝑏). Если мы немного сместим эту точку, то фаза изменится очень сильно, что приведёт к быстрым изменениям ядра 𝐾(𝑏,𝑎). Будем под «гладкой функцией» понимать функцию вида 𝑆кл/ℏ, которая заметно меняется лишь при значительных изменениях аргумента. В этом смысле амплитуде 𝐾(𝑎,𝑏) весьма далеко до гладкости. Однако приведённые соображения показывают, что в классическом приближении она имеет вид