=
1
2
|𝐫̇|²
+
∑
𝐤
1
2
(𝑞
2
𝑘
-
𝑞
2
𝐤
)+
⎧
⎪
⎩
2√2πα
𝑉
⎫½
⎪
⎭
∑
𝐤
1
𝑘
𝑞
𝑘
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
(11.54)
Первый член этого выражения — энергия электрона с координатой 𝐫, помещённого в кристалл с жёсткой решёткой. Второй член представляет собой лагранжиан колебаний поляризации в предположении, что все волны поляризации имеют одинаковую частоту и амплитуда 𝑘-го собственного колебания равна 𝑞𝑘. Последний член является лагранжианом взаимодействия электрона с колебаниями решётки, где 𝑉 — объём кристалла, α — постоянная величина. Чтобы упростить все последующие формулы, мы записали это выражение в безразмерном виде, т.е. единицы энергии, длины и времени выбраны так, что не только ℏ, но и общая частота осцилляторов ω, а также масса электрона 𝑚 — все равны единице. Тогда постоянная связи а равна безразмерному отношению:
α
=
1
√2
⎧
⎪
⎩
1
ε∞
-
1
ε
⎫
⎪
⎭
𝑒²
,
(11.55)
где ε и ε∞ —соответственно статическая и динамическая диэлектрические постоянные. В типичном случае, например в кристалле NaCl, значение α составляет около 5. Вычисляемые значения энергии будут выражены в единицах ℏω.
После того, как мы решили задачу о движении гармонического осциллятора, можно изучить и квантовомеханическое движение электрона. Например, амплитуда вероятности того, что электрон выходит из точки 𝐫1, когда все осцилляторы находятся в основном состоянии, и заканчивает движение точке 𝐫2 при условии, что все осцилляторы снова находятся в основном состоянии, равна
𝐺
00
(2,1)
=
∫
𝑒
𝑖𝑆
𝒟𝐫(𝑡)
(11.56)
(при этом мы использовали результаты гл. 8) и
𝑆
=
1
2
∫
⎪
⎪
⎪
𝑑𝐫
𝑑𝑡
⎪²
⎪
⎪
𝑑𝑡
+
∫
√2πα
𝑘²
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫(𝑡)
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐫(𝑠)
𝑒
-𝑖|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(11.57)
Проинтегрировав по волновым числам 𝐤, получим
𝑆
=
1
2
∫
|𝐫̇|²
𝑑𝑡
+
α𝑖
√8
∫
𝑒-𝑖|𝑡-𝑠|
|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
(11.58)
Величина 𝐺00(2,1) зависит от начального и конечного положений электрона 𝐫1 и 𝐫2 и от рассматриваемого интервала времени 𝑇. Так как эта функция представляет собой ядро, она является решением волнового уравнения Шрёдингера, рассматриваемого в зависимости от величины временного интервала 𝑇. Поэтому в её экспоненциальные множители войдут частоты, пропорциональные уровням энергии 𝐹𝑚. Найдём низший из этих энергетических уровней.
Как уже отмечалось, развивая наш вариационный принцип, мы не интересовались ядрами, в которых величина 𝑇 имела бы смысл реального интервала времени; напротив, мы рассматривали мнимые величины, подобные появляющимся в выражении (11.8) при больших значениях β. Прослеживая все этапы, приведшие к выражению (11.58), можно легко показать для мнимых значений временной переменной β, что окончательный вид ядра будет таким:
𝐾(2,1)
=
∫
𝑒
𝑆
𝒟𝐫(𝑡)
,
(11.59)
где переменная 𝑡 изменяется от 0 до β и
𝑆
=
1
2
∫
⎪
⎪
⎪
𝑑𝐫
𝑑𝑡
⎪²
⎪
⎪
𝑑𝑡
+
α
√8
∬
exp(-|𝑡-𝑠|)
|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
(11.60)
Этот результат совпадает с тем, что получится, если в выражении (11.58) переменную 𝑡 заменить мнимой величиной 𝑖𝑡. При больших значениях β это ядро асимптотически становится пропорциональным exp(-β𝐸0).