Мы имеем сравнительно сложный интеграл по траекториям, к которому и попытаемся применить наш вариационный принцип. Сначала выберем некоторое простое действие 𝑆' грубо аппроксимирующее истинное действие 𝑆, а потом найдём 𝐸' и δ.
Заметим, что в соответствии с выражением (11.60) на частицу в любой момент времени «воздействует» реакция от её положения в предыдущий момент времени, которая обратно пропорциональна расстоянию между этими положениями и экспоненциально затухает с увеличением интервала между соответствующими моментами 22). Причиной этому служит то, что вызванное электроном возмущение в кристаллической решётке потребует некоторого времени для процесса релаксации ионов, и в этот релаксационный период электрон все ещё будет «чувствовать» старое возмущение.
22) Хотя величина 𝑡 в выражении (11.60) не является настоящим временем, а всего лишь переменной интегрирования, полезно рассматривать её, как мы это делали в § 2 гл. 10, в качестве времени.
Попробуем ввести действие 𝑆', обладающее всеми этими свойствами, за исключением того, что в законе взаимодействия вместо обратной пропорциональности расстоянию реакция положения будет иметь вид параболической ямы. Такая аппроксимация была бы непригодной, если расстояние |𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)| очень часто становилось бы чрезмерно большим. Однако, поскольку интервалы времени ограничены экспоненциальным затуханием, силы взаимодействия, большие значения этой разности, не могут дать сколько-нибудь существенного вклада в интеграл. Поэтому запишем
𝑆'
=
-
1
2
∫
|𝐫̇|²
𝑑𝑡
-
1
2
𝐶
∬
|𝐫(𝑠)-𝐫(𝑡)|²
𝑒
-𝑤|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
(11.61)
Постоянная 𝐶 определяет силу притяжения между электроном и ранее созданным им возмущением; будем рассматривать её в качестве подгоночного параметра. Кроме того, без особых трудностей можно допустить, что закон обрезания экспоненты содержит некоторую отличную от единицы постоянную 𝑤. С её помощью мы сможем частично компенсировать неточность, которая вносится при замене обратно пропорциональной зависимости от расстояния параболической ямой (в этой связи заметим также, что добавление ещё одной постоянной в параболический член не улучшает результата, так как такой член выпал бы при вычислении 𝐸'0). Параметры 𝐶 и 𝑤 подберём далее таким образом, чтобы получить минимум 𝐸'0.
Поскольку действие 𝑆' мы выбрали квадратичным, то все существенные интегралы по траекториям легко вычисляются методами, описанными в гл. 2.
Сравнивая выражения (11.60) и (11.61), видим, что
1
β
⟨𝑆-𝑆'⟩
=
α
√8
∫
╱
╲
1
|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|
╲
╱
𝑒
-|𝑡-𝑠|
𝑑𝑠
+
+
1
2
𝐶
∫
⟨|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²⟩
𝑒
-𝑤|𝑡-𝑠|
𝑑𝑠
=
𝐴+𝐵
.
(11.62)
Сконцентрируем наше внимание на первом члене в правой части этого равенства 𝐴. Для выражения |𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|-1 в нем можно выполнить преобразование Фурье. Дело в том, что этот множитель возникает в результате преобразования Фурье при переходе от выражения (11.57) к (11.58). Таким образом, мы имеем
|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|
-1
=
∫
𝑑³𝐤
exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)]}
(2π²𝑘)
-1
.
(11.63)
Теперь необходимо изучить выражение
⟨exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(τ)-𝐫(σ)]}⟩
=
∫
(
𝑒
𝑆'
exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(τ)-𝐫(σ)]}
)
𝒟𝐫(𝑡)
∫ 𝑒𝑆' 𝒟𝐫(𝑡)
.
(11.64)
Интеграл в числителе имеет вид
𝐼
=
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∫
⎪
⎪
⎪
𝑑𝐫
𝑑𝑡
⎪²
⎪
⎪
𝑑𝑡
-
1
2
𝐶
∬
|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²
𝑒
-𝑤|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
+
+
∫
𝐟(𝑡)
⋅
𝐫(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝐫(𝑡)