𝑑𝐶
=
𝐵
,
(11.78)
так что с учётом выражений (11.77) и (11.74) получаем после интегрирования
𝐸'
0
=
3
2
(𝑣-𝑤)
,
(11.79)
где мы учли, что 𝐸'0=0 при 𝐶=0. Поскольку 𝐸'0-𝐵=(3/4𝑣)(𝑣-𝑤)², то окончательно получим для энергии выражение
𝐸
=
3
4𝑣
(𝑣-𝑤)²
-
𝐴
,
(11.80)
где 𝐴 задано соотношением (11.75). Величины 𝑣 и 𝑤 — два параметра, которые для получения минимума можно варьировать порознь.
К сожалению, интеграл 𝐴 нельзя вычислить в квадратурах, так что окончательное определение 𝐸 требует численного интегрирования. Однако существует возможность найти приближённые выражения в различных предельных случаях. Случай больших α соответствует большим 𝑣. Выбор 𝑤=0 приводит к интегралу
𝐴
=
π
-½
α
𝑣
½
∞
∫
0
𝑒
-τ
𝑑τ
(1-𝑒
-𝑣τ
)
-½
=
αΓ(1/𝑣)
𝑣½Γ(½+1/𝑣)
(11.81)
и 𝐸'0=3𝑣/4. Это эквивалентно тому, что в выражении (11.37) используется потенциал, который соответствует свободным гармоническим колебаниям. При больших 𝑣 членом 𝑒-𝑣τ можно пренебречь, так что 𝐴=(πω)-½α𝑣½. Для значений α, меньших чем 5,8, и при 𝑤=0 выражение (11.80) не имеет минимума, только если не выполнено условие 𝑣=0, так что случай 𝑤=0 не даст единого выражения для всех значений α. Несмотря на этот недостаток, результат (11.81) сравнительно прост и достаточно точен. При α>6 фактически существенны только большие значения 𝑣 и пригодна приближённая формула
𝐴
=
α
⎧
⎨
⎩
𝑣
π
⎫½
⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
1+
2 ln2
𝑣
⎫
⎬
⎭
;
(11.82)
при 𝑣>4 эта формула выполняется с точностью до 1%. Однако, например, Фрёлих [9] рассматривает разрыв при α=6 как серьёзный недостаток — недостаток, которого можно избежать в нашей теории. Мы сделаем это, выбрав 𝑤 отличным от нуля.
Изучим выражение (11.80) при малых значениях α и 𝑤≠0. Минимум будет иметь место, когда 𝑣 близко к 𝑤. Поэтому положим 𝑣=(1+ε)𝑤, считая ε малым, и разложим радикал в выражении (11.81). Это даст
𝐴
=
α
𝑣
𝑤
⎡
⎢
⎣
1-ε
∞
∫
0
τ
-3/2
𝑒
-τ
(1-𝑒
-𝑤τ
)
𝑑τ
2π½
+…
⎤
⎥
⎦
,
(11.83)
интеграл равен
2ω
-1
[(1+𝑤)
½
-1]
=
𝑃
.
(11.84)
В этом приближении задача сводится к минимизированию выражения
𝐸
=
3
4
𝑤ε²
-α-αε(1-𝑃)
,
(11.85)
получающегося с помощью подстановок из выражения (11.80); отсюда следует
ε=
2α(1-𝑃)
3𝑤
.
(11.86)
Этот результат справедлив только при малых значениях α, так как мы предположили, что ε мало. Окончательно
𝐸
=
-α
-
α²(1-𝑃)²
3𝑤
.
(11.87)
Таким образом, наш метод даёт поправку даже для малых значений α. Поправка будет минимальна при 𝑤=3, и в этом случае
𝐸
=
-α
-
α²
81
=
-α
-1,23
⎧
⎪
⎩
α
10
⎫²
⎪
⎭
.
(11.88)
Последнее выражение слабо зависит от 𝑤; например при 𝑤=1 коэффициент 1,23 уменьшается только до 0,98. Метод Ли и Пайнса [10] даёт в этом приближении точно такой же результат, что и выражение (11.88). Разложение по теории возмущений до членов второго порядка было сделано Хага [11], который показал, что истинное значение коэффициента при члене (α/10)² должно быть 1,26, так что наш вариационный метод очень точен при малых α.
Противоположный предел при больших значениях α соответствует большим 𝑣 и, как мы увидим, значениям 𝑤 порядка единицы. Так как 𝑣≫𝑤, то в первом приближении интеграл в выражении (11.75) переходит в формулу (11.81), асимптотику которой можно использовать без вычислений. Следующее приближение по 𝑤 можно получить, разложив радикал в выражении (11.75), при условии 𝑤/𝑣≪1. Кроме того, пренебрежимо малым оказывается член 𝑒-𝑣τ. В этом случае