§ 2. Характеристические функции
Полезно и дальше использовать аналогию между функционалом вероятности траектории и более привычной функцией распределения. Оба эти подхода имеют некоторые общие понятия, например понятие среднего значения. В случае обычных функций распределения дискретных величин, когда вероятность обнаружения некоторого числа 𝑛 равна 𝑃𝑛, среднее значение определяется как
𝑛
=
∞
∑
𝑛=1
𝑛
𝑃
𝑛
.
(12.4)
Для непрерывно распределённых переменных
𝑥
=
∞
∫
-∞
𝑥
𝑃(𝑥)
𝑑𝑥
.
(12.5)
Аналогичным образом среднее значение функционала 𝑄[𝑓(𝑡)] определим как
⟨𝑄⟩
=
∫𝑄[𝑓(𝑡)]𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)
∫𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)
.
(12.6)
В последнем соотношении, как и в гл. 7, мы включили в знаменатель интеграл по траекториям, который напоминает нам, что мы всегда должны иметь дело с проблемой нормировки. В принципе можно было бы с самого начала вычислить интеграл по траекториям от функции распределения, приравнять его единице и определить нормировочную постоянную. Однако во многих практических случаях удобнее оставлять функцию ненормированной, просто сокращая числовые множители в числителе и знаменателе выражения, которые сами по себе могут оказаться крайне сложными для вычисления.
Средний квадрат функции в заданный момент времени, например при 𝑡=𝑎, так же как и среднее значение функции, можно выразить через интегралы по траекториям. В этом случае получается функционал
⟨[𝑓(𝑎)]²⟩
=
∫[𝑓(𝑎)]²𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)
∫𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)
.
(12.7)
Одним из наиболее важных случаев усреднения функций согласно (12.5) является вычисление среднего значения 𝑒𝑖𝑘𝑥. Это среднее значение называется характеристической функцией и равно
φ(𝑘)
=
⟨𝑒
𝑖𝑘𝑥
⟩
=
∞
∫
-∞
𝑒
𝑖𝑘𝑥
𝑃(𝑥)
𝑑𝑥
.
(12.8)
Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для 𝑃(𝑥) и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как её наличие эквивалентно заданию самой функции распределения. Последнее вытекает из возможности выполнить обратное преобразование
𝑃(𝑥)
=
∞
∫
-∞
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
φ(𝑘)
𝑑𝑘
.
(12.9)
Некоторые важные параметры этого распределения можно определить, вычисляя производные характеристической функции. Так, например, среднее значение 𝑥 равно
⟨𝑥⟩
=
-𝑖
𝑑φ(𝑘)
𝑑𝑘
⎪
⎪
⎪𝑘=0
,
(12.10)
что легко показать, дифференцируя обе части равенства (12.8) по 𝑘 и полагая затем 𝑘=0. В самом деле, существует последовательность соотношений
φ(0)=1
,
φ'(0)=𝑖⟨𝑥⟩
,
φ''(0)=⟨𝑥²⟩
,…
(12.11)
Следующий наш шаг состоит в обобщении понятия характеристической функции на случай функционального распределения. Математическое определение такой характеристической функции можно построить, снова возвращаясь к нашей картине дискретных интервалов времени; затем нужно выполнить преобразование Фурье для функции распределения большого числа переменных, используя ядро exp(𝑖𝑘1𝑓1) exp(𝑖𝑘2𝑓2) …. При переходе к пределу бесконечного разбиения временных интервалов ядро превращается просто в exp[𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡]. Это и есть функционал, среднее значение которого мы хотим вычислить для построения характеристического функционала. Используя равенство (12.6), получаем