Отметим одно приближение к функционалу (12.24), которое часто оказывается точным. В общем случае λ(τ) — узкая, пикообразная функция от τ. Нарастание и спад формы сигнала 𝑔(𝑡) характеризуется конечной шириной, так что если два сигнала разделены достаточно большим промежутком времени, то у них нет области перекрытия. Другими словами, λ(τ) быстро стремится к нулю при увеличении τ. Поэтому, если λ(τ) имеет достаточно узкий профиль, второй член в уравнении (12.24) может быть аппроксимирован выражением
𝑒
-(𝑞/2)∫[𝑘(𝑡)]²𝑑𝑡
,
(12.25)
где обозначено
𝑞
=
μ
∞
∫
-∞
λ
𝑑τ
.
Это эквивалентно распределению вероятности
𝑃[𝑓(𝑡)]
=
𝑒
-(𝑞/2)∫[𝑓(𝑡)]²𝑑𝑡
.
(12.26)
Флуктуации, подобные тем, что мы сейчас рассматриваем, часто называют гауссовым шумом.
Характеристики функционалов вероятности, описывающих шумовые функции, последнее время широко обсуждались в теории связи, причём многие характеристики шумового спектра были определены и вычислены. Аналогичное рассмотрение проведём здесь и в следующем параграфе, где рассматриваются гауссовы шумы.
Покажем ещё на одном примере, как выводятся характеристические функционалы. Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде 𝑢(𝑡), но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется как 𝑎𝑢(𝑡). Можно также допустить, что вес 𝑎 может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени 𝑡𝑗, а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения 𝑎𝑗. Тогда результирующая функция представляется выражением
𝑓(𝑡)
=
∑
𝑗
𝑎
𝑗
𝑢(𝑡-𝑡
𝑗
)
.
(12.27)
Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функционалу (12.16);
Φ
=
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
∑
𝑗
𝑎
𝑗
∫
𝑘(𝑡)
𝑢(𝑡-𝑡
𝑗
)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
.
(12.28)
Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего 𝑗-му сигналу, в интервале 𝑑𝑎𝑗 через 𝑝(𝑎𝑗)𝑑𝑎𝑗, то характеристический функционал будет иметь вид
Φ
=
∬
…
⎡
⎢
⎣
𝑖
∑
𝑗
𝑎
𝑗
∫
𝑘(𝑡)
𝑢(𝑡-𝑡
𝑗
)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
×
×
𝑝(𝑎
1
)𝑑𝑎
1
𝑝(𝑎
2
)𝑑𝑎
2
…
.
(12.29)
Конечно, каждая из вероятностных функций для величин 𝑎𝑗 обладает соответствующей ей характеристической функцией (или производящей функцией для моментов). Назовём эту функцию 𝑊[ω] и определим её равенством
𝑊[ω]
=
∫
𝑒
𝑖ω𝑎
𝑝(𝑎)𝑑𝑎
.
(12.30)
Тогда выражение для Φ можно записать в виде
Φ
=
∏
𝑗
𝑊
⎡
⎢
⎣
∫
𝑘(𝑡)
𝑢(𝑡-𝑡
𝑗
)
𝑑𝑡