Φ
=
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
∫
𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
×
×
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∬
𝑘(𝑡)
𝑘(𝑡')
𝐴(𝑡,𝑡')
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
.
(12.40)
Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта 𝑓(𝑡), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию 𝑓'=𝑓-𝐹(𝑡). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро 𝐴(𝑡,𝑡') должно иметь форму 𝐴(𝑡-𝑡').
В конкретных физических задачах вид функции 𝐴 можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом 𝐴(𝑡,𝑡')=μλ(𝑡-𝑡'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.
Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя 𝑖 отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.
Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид
𝑃[𝑓(𝑡)]
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2
∬
[𝑓(𝑡)-𝐹(𝑡)]
×
×
[𝑓(𝑡')-𝐹(𝑡')]
𝐵(𝑡,𝑡')
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎫
⎬
⎭
.
(12.41)
где теперь функция 𝐵(𝑡,𝑡') представляет собой ядро, обратное ядру 𝐴(𝑡,𝑡'), т.е. функции 𝐴 и 𝐵 связаны равенством
∫
𝐴(𝑡,τ)
𝐵(τ,𝑠)
𝑑τ
=
δ(𝑡-𝑠)
.
(12.42)
Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).
Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.
Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т.е. изучим распределения с характеристическим функционалом
Φ
=
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∬
𝑘(𝑡)
𝑘(𝑡')
𝐴(𝑡-𝑡')
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
.
(12.43)
Функция 𝐴(τ) называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции 𝑓(𝑡) равна
𝑃[𝑓(𝑡)]
=
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∬
𝑘(𝑡)
𝑘(𝑡')
𝐵(𝑡-𝑡')
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
.
(12.44)
В последнем выражении появилась функция 𝐵, обратная по отношению к корреляционной функции 𝐴. Это означает, что ∫𝐵(𝑡-𝑠)𝐴(𝑠)𝑑𝑠=δ(𝑡) или, если
𝒫(ω)
=
∫
𝐴(τ)
𝑒
𝑖ωτ
𝑑τ
(12.45)
является преобразованием Фурье от функции 𝐴(τ), то преобразование Фурье от функции 𝐵(τ) равно 1/𝒫(ω).
Мы начнём с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением
⟨𝑓(𝑎)⟩
=
-𝑖
δΦ
δ𝑘(𝑎)
(12.46)
В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна
δΦ
δ𝑘(𝑎)
=
⎡
⎢
⎣
-
∫
𝑘(𝑡)
𝐴(𝑡-𝑎)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
Φ
(12.47)
и обращается в нуль, если 𝑘(𝑡)=0.
Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты 𝑎 и 𝑏. Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем