⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩
=
δ²Φ
δ𝑘(𝑎)δ𝑘(𝑏)
=
𝐴(𝑏-𝑎)
Φ
-
-
⎡
⎢
⎣
∫
𝑘(𝑡)
𝐴(𝑡-𝑎)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
∫
𝑘(𝑡')
𝐴(𝑡'-𝑎)
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
Φ
.
(12.48)
Вычислив это выражение для 𝑘=0, получим просто 𝐴(𝑏-𝑎). Отсюда ясно, почему 𝐴 называется корреляционной функцией.
§ 5. Спектр шума
Наиболее употребительная характеристика распределения шумов — это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т.е. от
φ(ω)
=
∫
𝑓(𝑡)
𝑒
𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
.
(12.49)
Используя наши предыдущие результаты, можно найти
⟨|φ(ω)|²⟩
=
╱
╲
∫
𝑓(𝑎)
𝑒
𝑖ω𝑎
𝑑𝑎
∫
𝑓(𝑏)
𝑒
𝑖ω𝑏
𝑑𝑏
╲
╱
=
=
∬
⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩
𝑒
𝑖ω(𝑎-𝑏)
𝑑𝑎
𝑑𝑏
=
=
∬
𝐴(𝑏-𝑎)
𝑒
𝑖ω(𝑎-𝑏)
𝑑𝑎
𝑑𝑏
=
𝒫(ω)
𝑑𝑎
.
(12.50)
Здесь мы использовали функцию 𝒫(ω), фурье-образ корреляционной функции 𝐴 [см. выражение (12.45)].
Если проинтегрировать в последнем из равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени. Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчёте на 1 сек
𝒫(ω)
=
среднее значение |φ(ω)|²
.
(12.51)
Мы можем применить некоторые из этих общих результатов к нашему специальному примеру шума, вызванного множеством малых сигналов. Корреляционная функция в этом случае — это просто функция μλ(τ) из формулы (12.22), т.е.
𝐴(τ)
=
μ
∫
𝑔(𝑡)
𝑔(𝑡+τ)
𝑑τ
.
(12.52)
Это означает, что функция мощности, называемая обычно спектром мощности, так как она определяется частотой, равна
𝒫(ω)
=
μ
∫
𝑔(𝑡)
𝑔(𝑡+τ)
𝑒
𝑖ωτ
𝑑τ
𝑑𝑡
=
μ|γ(ω)|²
,
(12.53)
где γ(ω) — фурье-образ функции сигнала 𝑔(𝑡). В нашем случае этот простой результат можно истолковать непосредственно. Если сигналы приходят в моменты 𝑡𝑖 так что
𝑓(𝑡)
=
∑
𝑖
𝑔(𝑡-𝑡
𝑖
)
,
то фурье-образ 𝑓(𝑡) равен
φ(ω)
=
∑
𝑖
γ(ω)
𝑒
𝑖ω𝑡𝑖
.
Таким образом, среднее значение квадрата φ(ω)
⟨|φ(ω)|²⟩
=
⎪
⎪
⎪
∑
𝑖,𝑗
|γ(ω)|²
𝑒
𝑖ω(𝑡𝑖-𝑡𝑗)
⎪
⎪
⎪
.
(12.54)
А так как моменты 𝑡𝑖 случайны и независимы от 𝑡𝑗 для 𝑗≠𝑖, то при усреднении ни один из членов с 𝑖≠𝑗 не даёт вклада, так как среднее значение exp[𝑖ω(𝑡𝑖-𝑡𝑗)] равно нулю: остаются только члены с 𝑖=𝑗. Каждый из них равен |γ(ω)|², а общее их число μ𝑇, так что средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек равна μ|γ(ω)|².
В частном случае, когда характеристическую функцию можно аппроксимировать функцией белого шума из (12.25), 𝐴(𝑡-𝑡')=const δ(𝑡-𝑡').. Это означает, что 𝑓(𝑡) не зависит от ω и при всех частотах на единичный интервал частоты приходится одинаковая «мощность» [средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек].
Рассматриваемые распределения очень удобно описывать, задавая распределение вероятности не для 𝑓(𝑡), а прямо для её фурье-образа φ(ω) и выражая характеристический функционал не через 𝑘(𝑡), а через его фурье-образ 𝐾(ω):