Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя из уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример. Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину 𝑇, частица отклонится на расстояние 𝐷 от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом θ к ней, как это показано на фиг. 12.1?
Фиг. 12.1. Движение быстрой частицы пердендикулярно пластинке вещества толщиной 𝑇.
Пройдя толщину 𝑡 в направлении первоначального движения, быстрая частица вследствие взаимодействий с ядрами вещества отклоняется на расстояние 𝑥. В конце концов она вылетает из пластинки на расстоянии 𝐷 от точки 𝑥=0, в которой она вылетела бы при отсутствии взаимодействий, и движется под углом θ к первоначальному направлению.
Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол θ всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых даёт малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины 𝑑𝑡 равно μ и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол Δ, определяемый распределением вероятности 𝑝(Δ)𝑑(Δ); пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение
∞
∫
-∞
Δ²
𝑝(
Δ
)𝑑(
Δ
)
=
σ²
(12.65)
(мы будем обозначать μσ² через 𝑅).
Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга. Обозначим через 𝑡 глубину проникновения частицы в пластинку; пусть θ — угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, а 𝑥 — отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12.1. Эти параметры связаны соотношением 𝑑𝑥=θ или 𝑥̇=θ.
Мы предполагаем, что отклонения частицы на угол Δ происходят внезапно, так что θ̇=𝑓(𝑡), где функция 𝑓 представляется суммой δ-функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами. Это означает, что 𝑥̈=𝑓(𝑡) и 𝑃𝑓[𝑓(𝑡)] обладает характеристическим функционалом
Φ
=
exp
⎧
⎪
⎩
-μ
∫
{1-𝑊[𝑘(𝑠)]}
𝑑𝑠
⎫
⎪
⎭
,
(12.66)
где
𝑊[ω]
=
∫
𝑝(
Δ
)
𝑒
𝑖ωΔ
𝑑
Δ
.
(12.67)
Заметим, что среднее значение углового отклонения Δ считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми. Если теперь разложить 𝐺(ω), так что
𝑊[ω]
=
∫
𝑝(
Δ
)
⎧
⎪
⎩
1+𝑖ω
Δ
-
ω²
2
Δ
²
+…
⎫
⎪
⎭
𝑑
Δ
,
(12.68)
и ограничиться только членами не выше второго порядка по Δ, т.е. положить 𝑊[ω]=1-ω²σ²/2, то функционал (12.66) будет иметь вид
Φ
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2
𝑅
∫
[𝑘(𝑠)]²
𝑑𝑠
⎫
⎬
⎭
.
(12.69)
А это в свою очередь означает, что
𝑃
𝑓
[𝑓(𝑡)]
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2𝑅
∫
[𝑓(𝑡)]²
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
(12.70)
и, следовательно,
𝑃
𝑥
[𝑥(𝑡)]
=
const⋅exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2𝑅
𝑇
∫
0
[𝑥̈(𝑡)]²
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
(12.71)
Мы должны вычислить распределение 𝑃(𝐷,θ), определяющее вероятность того, что частица будет выходить из пластины под углом θ и смещением 𝐷, если при входе в пластину она имела 𝑥(0)=0 и 𝑥̇(0)=0. Нас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода 𝑥(𝑇)=𝐷 и 𝑥̇(𝑇)=θ. Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям: