Основная цель этой главы — показать, как можно сформулировать эти и другие подобные вопросы. Мы не будем заниматься детальным решением упомянутых частных задач; они нужны нам лишь для того, чтобы помочь понять способы постановки более общих проблем.
Прежде всего обсудим аналогию броуновского движения для квантовомеханической системы, т.е. предположим, что квантовая система, которой соответствует невозмущённое действие 𝑆(𝑞), испытывает влияние внешнего потенциала 𝑉(𝑡) и при этом действие 𝑆 становится равным *)
𝑆
𝑣
(𝑞)
=
𝑆(𝑞)
+
∫
𝑞(𝑡)
𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
.
(12.78)
*) Все операции мы проделаем так, как если бы аргументом была только одна координата 𝑞. Читатель может непосредственно получить обобщение на случай нескольких координат 𝑞𝑖 (при этом 𝑉 заменяется набором потенциалов 𝑉𝑖) и на случай, когда коэффициент при 𝑉(𝑡) в действии 𝑆𝑉 не равен просто 𝑞, а является более сложным оператором.
Допустим, что нас интересует вопрос: какова вероятность того, что, отправившись в начальный момент времени 𝑡𝑖 из точки 𝑞(𝑡𝑖)=𝑞𝑖, мы достигнем в конечный момент 𝑡𝑓 положения 𝑞𝑓? Эта вероятность определяется квадратом амплитуды |𝐾(𝑞𝑓,𝑡𝑓;𝑞𝑖,𝑡𝑖)|². Если начальное состояние системы задаётся волновой функцией φ(𝑞), а конечное — волновой функцией χ(𝑞), то вероятность перехода между этими состояниями
𝑃[χ(𝑞);φ(𝑞)]
=
⎪
⎪
⎪
∬
χ*(𝑞
𝑓
)
𝐾(𝑞
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞
𝑖
,𝑡
𝑖
)
φ(𝑞
𝑖
)
𝑑𝑞
𝑓
𝑑𝑞
𝑖
⎪²
⎪
⎪
=
=
∬
∬
χ*(𝑞
𝑓
)
χ(𝑞'
𝑓
)
𝐾(𝑞
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞
𝑖
,𝑡
𝑖
)
𝐾*(𝑞'
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞'
𝑖
,𝑡
𝑖
)
×
×
φ(𝑞
𝑖
)
φ*(𝑞'
𝑖
)
𝑑𝑞
𝑖
𝑑𝑞'
𝑖
𝑑𝑞
𝑓
𝑑𝑞'
𝑓
.
(12.79)
Очевидно, что все подобные задачи могут быть решены, если вычислить произведение
𝐾(𝑞
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞
𝑖
,𝑡
𝑖
)
𝐾*(𝑞'
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞'
𝑖
,𝑡
𝑖
)
(12.80)
Здесь первый множитель содержит интеграл по траекториям ∫exp{𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡), тогда как второй, комплексно-сопряженный *), включает ∫exp{-𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡). Каждый из интегралов взят по траекториям с заданными конечными точками. Во втором интеграле выражения (12.80) обозначим переменную интегрирования по траектории через 𝑞'(𝑡). При этом произведение (12.80) можно выразить как двойной интеграл по траекториям:
∬
𝑒
𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]-𝑖𝑆[𝑞'(𝑡)]
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
.
(12.81)
*)Как и в гл. 11, предполагаем, что ℏ=1, a 𝑆[𝑞(𝑡)] — действительная величина.
Суммирование таких интегралов по различным конечным точкам даст искомую вероятность.
Если потенциал 𝑉 отличен от нуля, то мы должны 𝑆 в выражении (12.81) заменить на 𝑆𝑉. При этом получим
∬
exp