Таким образом, мы приходим к необходимости изучить свойства функционалов влияния. Составим список нескольких правил, определяющих такие свойства, и сформулируем некоторые допущения, при которых они получаются.
Правило I.
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]*
=
𝐹[𝑞'(𝑡),𝑞(𝑡)]
,
(12.91)
где значком * отмечено комплексное сопряжение.
Правило II. Если функции 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) выбраны равными для всех 𝑡, больших любого 𝑎, то 𝐹 не зависит от фактических значений 𝑞(𝑡) для 𝑡>𝑎.
Правило III. Если 𝐹𝑖 — функционал влияния для определённой среды 𝑖 и мы фактически не знаем реального окружения системы, а знаем лишь, что вероятность найти систему в среде 𝑖 равна ω𝑖, то эффективный функционал влияния (для расчёта всех вероятностей)
𝐹
=
∑
𝑖
ω
𝑖
𝐹
𝑖
.
(12.92)
Правило IV. Если система 𝑞 одновременно взаимодействует с двумя внешними системами 𝐴 и 𝐵 и если системы 𝐴 и 𝐵 непосредственно не взаимодействуют между собой, а их начальные состояния никак не связаны, то
𝐹
=
𝐹
𝐴
⋅
𝐹
𝐵
,
(12.93)
где 𝐹𝐴 функционал влияния для случая, когда с 𝑞 взаимодействовала бы только одна система 𝐴, и 𝐹𝐴 — такой же функционал для системы 𝐵.
Правило V. Если функционал 𝐹 можно с достаточной точностью аппроксимировать выражением
𝐹
=
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
∫
[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]
𝑉(𝑡)
𝑑(𝑡)
⎫
⎬
⎭
,
(12.94)
то система ведёт себя так же, как под влиянием классического потенциала 𝑉(𝑡), который вносит в действие вклад ∫𝑞(𝑡)𝑉(𝑡)𝑑(𝑡). Если же функционал имеет вид 𝐹(𝑞,𝑞')=Φ[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)], где Φ[𝑘(𝑡)] — функционал произвольной формы, то окружение эквивалентно классическому случаю, однако с неопределённым потенциалом 𝑉(𝑡) [в этом случае Φ — характеристический функционал для распределения 𝑉(𝑡)].
Справедливость правила I очевидна непосредственно из выражения (12.90). Это же выражение объясняет также правило II, однако гораздо менее наглядным образом. Отметим, что для произвольной системы с некоторым определённым действием 𝑆𝑎(𝑄) при любом заданном начальном состоянии
∑
𝑓
∬
exp(𝑖{
𝑆
𝑎
[𝑄(𝑡)]
-
𝑆
𝑎
[𝑄'(𝑡)]
})
𝒟𝑄(𝑡)
𝒟𝑄'(𝑡)
=1
.
(12.95)
Это следует из того, что интегралы и сумма по конечным состояниям
∑
𝑓
эквивалентны соотношению
∫
𝐾(𝑄
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑄
𝑖
,𝑡
𝑖
)
𝐾*(𝑄
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑄'
𝑖
,𝑡
𝑖