𝑁
ε
=
𝑡
𝑏
-𝑡
𝑎
,
ε
=
𝑡
𝑖+1
-𝑡
𝑖
,
𝑡
0
=
𝑡
𝑎
, 𝑡
𝑁
=𝑡
𝑏
,
𝑥
0
=
𝑥
𝑎
, 𝑥
𝑁
=𝑥
𝑏
.
(2.19)
В результате получим выражение
𝐾(𝑏,𝑎)∼
∫∫
…
∫
φ[𝑥(𝑡)]𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
…𝑑𝑥
𝑁-1
.
(2.20)
Интегрирование не производится по 𝑥0 и 𝑥𝑁, так как эти переменные совпадают с фиксированными концами траекторий 𝑥𝑎 и 𝑥𝑏. Это выражение формально соответствует соотношению (2.17). Уменьшая ε, мы можем получить более полное представление множества всех возможных траекторий, соединяющих точки 𝑎 и 𝑏. Однако точно так же, как и в случае интеграла Римана, невозможно достичь предела этого процесса, так как такой предел не существует. Мы снова должны ввести некоторый нормирующий множитель, который, как и следует ожидать, будет зависеть от ε.
К сожалению, определение такого нормирующего множителя оказывается весьма трудной задачей, и неизвестно, как это делать в общем случае. Однако нам это удаётся сделать для всех задач, которые до сих пор имели практическое значение. Возьмём, например, случай, когда лагранжиан задаётся выражением (2.2). Нормирующий множитель в этом случае равен 𝐴-𝑁, где
𝐴=
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫½
⎪
⎭
.
(2.21)
Как получен этот результат, мы увидим далее (см. § 1 гл. 4). С учётом множителя 𝐴 переход к пределу имеет смысл, и мы можем написать
𝐾(𝑏,𝑎)=
lim
ε→0
1
𝐴
∫∫
…
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑎]
𝑑𝑥1
𝐴
𝑑𝑥2
𝐴
…
𝑑𝑥𝑁-1
𝐴
(2.22)
где
𝑆[𝑏,𝑎]=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡
(2.23)
представляет собой однократный интеграл вдоль траектории, проходящей, как это показано на фиг. 2.3, через все соединённые прямолинейными отрезками точки 𝑥𝑖.
Фиг. 2.3. Сумма по всем траекториям.
Она определяется как предел, в котором траектория первоначально задаётся лишь координатами 𝑥 для большого числа фиксированных моментов времени, разделённых очень малыми интервалами длины ε. Тогда сумма по траекториям равна интегралу по всем этим выбранным координатам. Наконец для определения меры берётся предел при ε→0.
Возможно и более изящное определение траектории. Для соединения точек 𝑥𝑖 и 𝑥𝑖+1 вместо отрезков прямых линий мы могли бы использовать отрезки классической траектории. Тогда можно было бы сказать, что 𝑆 — это наименьшее значение интеграла, взятого от лагранжиана по всем траекториям, которые проходят через выбранные точки (𝑥𝑖,𝑡𝑖). При таком определении нет необходимости прибегать к каким-то не имеющим физического смысла переходам по отрезкам прямых.
Интеграл по траекториям. Имеется много способов выбрать некоторое подмножество из всех траекторий, проходящих через точки 𝑎 и 𝑏. Применявшийся нами способ, возможно, не является наилучшим с точки зрения математики. Предположим, например, что лагранжиан зависит от ускорения в точках 𝑥. В нашем способе построения траектории скорость имеет разрывы во всех точках (𝑥𝑖,𝑡𝑖), и, следовательно, ускорение в этих точках бесконечно велико. Это могло бы привести к затруднениям, но в тех немногих примерах, с которыми мы уже имели дело, вполне законной была замена