Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) имеет вид
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]
=
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
∫
𝑞(𝑡)
𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
-
𝑖
∫
𝑞'(𝑡)
𝑈(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
,
(12.98)
где 𝑉(𝑡) и 𝑈(𝑡) — произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам. Правило I требует, чтобы 𝑈(𝑡)=𝑉*(𝑡), а из правила II следует 𝑈(𝑡)=𝑉(𝑡), поэтому 𝑈 и 𝑉 должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу V, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала.
Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; он анализируется до конца, если добавить член 𝑞(𝑡)𝑉(𝑡) к гамильтониану невозмущённой системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило IV позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичного функционала.
Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑡
∫
[
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
+
β(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
+
γ(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
δ(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞(𝑡')
]
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎫
⎬
⎭
(12.99)
с произвольными комплексными функциями α, β, γ и δ. (Эти функции достаточно определить только для 𝑡>𝑡'.) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем 𝑡>𝑡'; это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом I положить
β(𝑡,𝑡')
=
α*(𝑡,𝑡')
(12.100)
и
γ(𝑡,𝑡')
=
δ*(𝑡,𝑡')
(12.101)
Правило II даёт нам больше информации. Если положить 𝑞(𝑡)=𝑞'(𝑡) для 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎, то выражение
∫
𝑎
𝑎
∫
[
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
+
β(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
+
γ(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞'(𝑡')
+
δ(𝑡,𝑡')
𝑞'(𝑡)
𝑞(𝑡')
]
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
,
(12.102)
составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от 𝑞(𝑡) при произвольных значениях 𝑞(𝑡') в области 𝑡>𝑎 и 𝑞'(𝑡') в области 𝑡'<𝑎. Для этого необходимо, чтобы
δ(𝑡,𝑡')
=-
α(𝑡,𝑡')
,
γ(𝑡,𝑡')
=-
β(𝑡,𝑡')
(12.103)
до тех пор, пока 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎. А так как 𝑎 — произвольная величина, то условия (12.103) должны выполняться для всех 𝑡 и 𝑡', если только 𝑡>𝑡'.
Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния зависит только от одной комплексной функции α(𝑡,𝑡') и выражается в форме
exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
𝑡
∫
[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]
[
𝑞(𝑡')α(𝑡,𝑡')
-
𝑞'(𝑡')α*(𝑡,𝑡')
]
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎫
⎬
⎭
.
(12.104)
В случае когда α(𝑡,𝑡') — действительная функция, например, равна 𝐴(𝑡,𝑡'), наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах α — комплексная величина. Важным частным случаем является функция α, зависящая только от разности 𝑡 и 𝑡: α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усреднённые свойства которой не зависят от абсолютного времени.
Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдём вероятность того, что система 𝑞 переходит из энергетического состояния 𝑛 в некоторое другое ортогональное состояние 𝑚 за время 𝑇. Предположим, что α очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить 𝐹, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по α, состоитиз четырёх частей. Одна из них это