∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
Если подставить её вместо 𝐹 в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при φ=φ𝑛 и χ=φ𝑚, то видно, что интеграл по 𝒟𝑞(𝑡) и 𝒟𝑞'(𝑡) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по 𝑞 имеет вид
∫
𝑒
𝑖𝑆[𝑞]
⎡
⎢
⎣
∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑞(𝑡)
и представляет собой матричный элемент
𝑚
╱
╲
-
∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
╲
╱
𝑛
=
=
-
∫
𝑡
∫
𝑚
⟨
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
⟩
𝑛
α(𝑡,𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
(12.105)
(см. гл. 4). Интеграл no 𝒟𝑞' равен просто ∫𝑒𝑖𝑆[𝑞]𝒟𝑞' и комплексно сопряжён матричному элементу 𝑚⟨1⟩𝑛. Рассматривая аналогичным способом другие члены, получаем полную вероятность перехода
𝑃(𝑛→𝑚)
=
∫
𝑡
∫
[
α(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
⟩
𝑛
𝑚
⟨1⟩
𝑛
-
-
α*(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨1⟩
𝑛
𝑚
⟨
𝑞(𝑡)
𝑞(𝑡')
⟩*
𝑛
+
α*(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨𝑞(𝑡)⟩
𝑛
𝑚
⟨𝑞(𝑡')⟩*
𝑛
+
+
α(𝑡,𝑡')
𝑚
⟨𝑞(𝑡)⟩*
𝑛
𝑚
⟨𝑞(𝑡')⟩
𝑛
]
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
(12.106)
Если состояния 𝑚 и 𝑛 ортогональны, то 𝑚⟨1⟩𝑛=0; если же действие 𝑆[𝑞] соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями 𝐸𝑘, то
𝑚
⟨𝑞(𝑡)⟩
𝑛
=
𝑞
𝑚𝑛
𝑒
-𝑖(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑡
(12.107)
В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряжённых друг с другом, так что
𝑃(𝑛→𝑚)
=
2𝖱𝖾
∫
𝑡
∫
α(𝑡,𝑡')
𝑒
-𝑖(𝐸𝑚-𝐸𝑛)(𝑡-𝑡')
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
(12.108)
Задача 12.3. Проверьте, что для 𝑚=𝑛 в соответствии с законом сохранения вероятности
𝑃(𝑚→𝑚)
=
1-
∑
𝑛
𝑃(𝑚→𝑛)
Для однородной по времени среды α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). Предположим, что мы определили преобразование Фурье
𝑎(ν)
=
∞
∫
0
α(τ)
𝑒
-ντ
𝑑τ
(12.109)
[α𝑡 не определена для 𝑡<0]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода
𝑃(𝑛→𝑚)
за 1 сек
=
2𝑎
𝑅
(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
)
|𝑝
𝑛𝑚
|²
,
(12.110)
где мы выделили действительную и мнимую части 𝑎(ν):