где 𝐾 — ядро вида (3.66) для осциллятора, движущегося под действием внешней силы 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞(𝑡), а 𝐾' — аналогичное ядро для 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞'(𝑡); φ0(𝑄) — волновая функция осциллятора в основном состоянии. Тогда все переменные 𝑄𝑖, 𝑄'𝑖 и 𝑄'𝑓 входят в простой гауссовой форме и интегрирование можно выполнить непосредственно. Очень просто рассмотреть случай конечной температуры. При этом вероятность обнаружить систему в начальном состоянии 𝑛 пропорциональна 𝑒-β𝐸𝑛, так что, согласно правилу IV, окончательное выражение функционала 𝐹 найдём, если в полученном выше выражении волновые функции φ(𝑄𝑖) φ*(𝑄'𝑖) заменить на const
∑
𝑛 φ𝑛(𝑄𝑖) φ*𝑛(𝑄'𝑖) 𝑒-β𝐸𝑛 ,
т.е. на матрицу плотности ρ(𝑄𝑖,𝑄'𝑖) выведенную в § 1 гл. 10. Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми.
причём 𝐺 определяется равенством (8.138), а β* равенством (8.143) с заменой γ(𝑡) на 𝐶𝑞(𝑡). Аналогично интеграл по 𝑄 является комплексно-сопряжённой величиной для такого же выражения, где γ(𝑡) следует лишь заменить на 𝐶𝑞'(𝑡). Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам
𝐸(𝑞,𝑞')
=
∑
𝑚
𝐺
𝑚0
𝐺
'*
𝑚0
=
∑
𝑛
(𝑚!)
-½
(𝑖β*)
𝑚
𝐺
00
(𝑚!)
-½
(-𝑖β')
𝑚
𝐺'
00
=
=
𝐺
00
𝐺'
00
𝑒
β*β'
.
(12.119)
Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу 𝐹 типа (12.104), но при этом
α(𝑡,𝑡')
=
𝐶²
2ω
𝑒
-𝑖ω(𝑡,𝑡')
.
(12.120)
Например, члены с 𝑞𝑞' в выражении (12.104) получаются прямо из члена β*β' в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая даёт
𝐶²
2ω
⎡
⎢
⎣
∫
𝑞(𝑡)
𝑒
𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
∫
𝑞'(𝑡)
𝑒
-𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
=
=
𝐶²
2ω
∫
𝑡
∫
[
𝑞(𝑡)
𝑞'(𝑡')
𝑒
𝑖ω(𝑡-𝑡')
+
𝑞'(𝑡)
𝑞(𝑡')
𝑒
𝑖ω(𝑡-𝑡')
]
𝑑𝑡'
𝑑𝑡
.
(12.121)
Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина 𝑎(ν) равна
𝑎(ν)
=
𝐶²
2ω
∞
∫
0
𝑒
-𝑖ω𝑡
𝑒
-𝑖ν𝑡
𝑑𝑡
=
𝐶²
2ω
⎡
⎢
⎣
-𝑖
𝐏𝐏
1
ω+ν
+
πδ(ω+ν)
⎤
⎥
⎦
(12.122)
[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть
𝑎
𝑅
(ν)
=
𝐶²
2ω
δ(ω+ν)
.
(12.123)
Для положительных ν эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).
Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции 𝑎𝑅(ν) складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это — следствие того, что для отрицательных ν любую функцию 𝑎𝑅(ν) можно построить из δ -функций в форме (12.123).
Другой интересный пример — это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна 𝑇, то начальное состояние — это состояние 𝑛 с относительной вероятностью 𝑒-𝐸𝑛/𝓀𝑇. В нашем случае абсолютная вероятность