Этот вопрос мы рассматривать здесь не будем (см. [20—22]).
§10. Заключение
Из рассмотренных приложений интегралов по траекториям к теории вероятностей ясно, что если подынтегральные выражения имеют гауссову форму, то наш метод может оказаться весьма полезным. Однако при этом мы не выходим за круг задач, которые можно решить и другими методами без использования интегралов по траекториям. Возникает резонный вопрос о практической значимости интегралов по траекториям. На это можно сказать лишь, что если задача не является гауссовой, то с помощью интегралов по траекториям её по крайней мере можно сформулировать, исследовать и надеяться, что дальнейшее развитие этого метода позволит также и решить задачу. Единственный случай, когда с помощью интегралов по траекториям получается результат, который нельзя просто вывести обычными методами,— это вариационный принцип, обсуждавшийся в гл. 11. Можно думать, что при дальнейшем совершенствовании метода число таких результатов возрастёт.
Стоит также подчеркнуть, что этот метод допускает быстрый переход от одной формулировки задачи к другой и часто даёт ясное или легко выводимое указание на соотношение, которое затем со значительно большей затратой труда можно вывести обычными способами.
Что касается применений к квантовой механике, то методу интегралов по траекториям присущи, к сожалению, серьёзные недостатки. Таким методом нельзя просто рассматривать спиновые или другие подобные операторы. Наиболее плодотворным он оказывается в применении к системам, для описания которых вполне достаточно координат и канонически сопряжённых им импульсов. Тем не менее спин является неотъемлемой частью реальных квантовомеханических систем. И очень серьёзным ограничением является то, что полуцелый спин электрона не имеет простого и ясного представления в нашем методе. Спин электрона можно ввести, если амплитуды вероятности и все величины рассматривать как кватернионы, а не как обычные комплексные числа; однако возникающая при этом некоммутативность таких чисел — серьёзное осложнение.
Вместе с тем многие результаты и формулировки метода интегралов по траекториям можно выразить с помощью другого математического формализма, представляющего собой одну из форм исчисления упорядоченных операторов (см. [23]). В этой форме большинство результатов предыдущих глав находят аналогичное, но более общее представление, включающее некоммутирующие переменные (такое обобщение неизвестно лишь для специальных задач гл. 11). Например, обсуждение в данной главе функционалов влияния должно натолкнуть читателя на мысль, что важным и интересным обобщением была бы связь среды не с координатой 𝑞, а с некоммутирующим оператором, таким, как спин. Такие обобщения не могут быть просто выражены с помощью интегралов по траекториям, но легко формулируются на языке тесно связанного с ним операторного исчисления.
Стоит и дальше прилагать усилия, чтобы распространить метод интегралов по траекториям за его сегодняшние пределы. Несмотря на ограничения, ценность его весьма велика благодаря той помощи, Которую он оказывает интуиции исследователя в соединении физического понимания сути дела с математическим анализом.
Приложение
ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
∞
∫
-∞
𝑒
𝑎𝑥²+𝑏𝑥
𝑑𝑥
=
⎧
⎪
⎩
π
-𝑎
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-𝑏²/4𝑎
,
∞
∫
-∞
𝑒
𝑎(𝑥1-𝑥)²
𝑒
𝑏(𝑥2-𝑥)²